bevis for h(x)=cos x = h'(x)=-sinx

 Jeg tror jeg har et tjekker lige..

h(x) = cos x = ∑ x^(2n) / (2n)! *(-1)^(2n)

h'(x) = - ∑ x^(2n+1)/(2n+1)! *(-1)^(2n+1) = -sinx

#2

Det forudsætter, at man er fortrolig med potensrækker.

 Hvordan vil du så vise at a^r * a^s = a^(r+s), hvor (a,r,s) ligger i R^3 ?

#4

Jeg angreb ikke din beregning med potensrækkerne, kun at man sandsynligvis ikke kan forudsætte kendskab til potensrækker fra opgavestillerens side.

 nej, det ved jeg godt. :) Jeg kom bare lige i tanke om der var en måde at vise det på i #4

 se først på størrelsen 1/h*(cos(x₀ +h) - cos(x₀)), hvis den har en grænseværdi for h gående mod 0 er cosinusfunktionen differentiabel, og grænseværdien er differentialkvotienten i punktet x_0.

Benyt additionsformlen cos(α+β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β) og udnyt at sin(x)/x går mod 1 for x gående mod 0.

 Her skal man være fortrolig med L'Hospital

#7

Det hele koges ned til, hvad man kan antage som værende kendt før man viser, at sin og cos er differentiable. Hvis man kan vise, at størrelsen 1/h*(cos(x₀+h) - cos(x₀)) har en grænseværdi, og at sin(x)/x går mod 1, er beviset hjemme. Men det skal så vises uden at forudsætte noget om, at sin og cos er differentiable.

Lad rA betegne den infinitesimale ændrig af A.

Lad lim betegne grænseværdien hvor grænsen går mod uendelig.

d sinx / dx = lim (sin(x+rx) - sinx ) / rx

= lim sinx cosrx + cosx sinrx - sinx /rx

=lim sinx (cosrx -1) + cosx sinrx / rx

= sinx lim[ ((cosrx -1 ) / rx ) + cosx * sinrx )/rx ]

=sinx lim ( (cosrx -1) / rx) + cosx lim(sinx/rx)

=sinx *0 + cosx * 1 = cosx

 ah ja og det du ønsker i #0 findes jo på tilsvarende måde

 #9

Andersen nu forvirrer du vist. Hvis en funktion f er defineret i en omegn omkring x₀ og kvotienten   

har en grænseværdi for h gående mod 0, så er f pr. definition differentiabel i x₀, og grænseværdien er lig med differentialkvotienten i x₀. Derfor - hvis man kan vise at ovennævnte grænseværdi eksisterer, så har man vist at funktionen f er differentiabel i x₀, og konstaterer man derpå, at x₀ er vilkårligt valgt i funktionens definitionsområde, så har man vist at den er differentiabel for alle x i funktionens åbne definitonsområde. Så se venligst bort fra den sidste sætning i #9. Det må vist være en svipser.

#10

Du er desværre ikke præcis nok. For det første skal grænsen ikke gå mod uendelig. Hvilken grænse? Hvis du tænker over det, håber jeg du kan se, at set ikke giver nogen mening. Det er den variable størrelse - rx i din notation - som her skal nærme sig det faste tal - grænsen - som er 0. Og bestemt ikke uendelig som du skriver. Vær varsom med brugen af paranteser, når du bruger dine limes tegn. Du skriver faktisk et og mener noget andet. Det gør det ret vanskeligt for dine læsere at følge din besvarelse.

De manglende paranteser omkring tælleren i udtrykket er også ganske meningsforstyrrende.

Du synes sikkert, at ham  den gamle er frygtelig pedantisk, men for at illustrere min pointe er resultatet af din linje 3 lig med 0, resultatet af din linje 4 er lig med 

linje 5 giver resultatet

Linjerne 6, 7 og 8 ser OK ud bortset fra fejlen i linje 7, hvor cos(x)*lim(sin(x)/rx - skal være cos(x)*lim(sin(rx)/rx

#12

Jeg tror da ikke, at jeg forvirrer. Jeg gjorde opmærksom på, at man er nødt at gøre sig sine forudsætninger klart, før man går i gang med at bevise noget. Vi er da enige om, at det drejer sig om at vise, at differenskvotienten har en grænseværdi. Jeg ved bare ikke, om opgavestilleren kan forudsætte det som bekendt, f.eks. at sin(x)/x → 1 for x → 0 .

 #12 Udover grænsen går mod 0 er alt andet der er skrevet op korrekt. Man kan pr. konvention tænke sig til at det er en skitse og mellemrummet afspejler at der skal være en parentes. At det så virker forvirrende for dig, kan jeg jo ikke tage mig af. 

 Nådada. Denne konvention du beskriver er desværre endnu ikke vedtaget af det øvrige Matematiske Samfund. Et limes tegn uden parantes - uanset om beviset skal opfattes som en skitse eller ej, og uanset om der er 1, 2 eller 77 mellemrum mellem limestegnet og udtrykket - vedrører kun næste led. Din konvention er vist fremdraget ad hoc.

Du påstår at alt ud over grænsen går mod 0 er opskrevet korrekt. Ja men dermed provokerer du mig til at rette din besvarelse.

Grænsen går mod uendelig er noget sludder. Grænsen går aldeles ingen steder hen. Det er den infinitesimale størrelse rx, som nærmer sig grænsen 0.

Min og det øvrige Matematiske Samfunds fortolkning af hvordan limes tegnet skal opfattes gør, som jeg redegjorde for i #11 koblet med fejlen i linje 7, at ingen af  lighedstegnene er gyldige. Det er da meget godt klaret.

Så til den største betænkelighed. Når man bliver bedt om at bevise, at en grænseværdi af et udtryk eksisterer, så begynder man ikke med at  tage limes af udtrykket, fordi man på den måde forudsætter at grænseværdien af udtrykket eksisterer, hvilket kan virke meningsløst, da man i den fase af udregningen endnu ikke ved om den gør.

Jeg citerer fra Tage Gutmann Madsens noter 1 MA, Kap II.1.5, Københavns Universitets Matematiske Institut 1984.

RÅD. Ved opgavebesvarelser og på en tavle tilrådes skrivemåden

Den tillader således en række omskrivninger af f(x)  gældende for alle x tilhørende A, inden grænseovergang inddrages, som f.eks. 

Skriver man derimod

 fremgår det jo ikke, at der i begyndelsen kun foretages omskrivninger bag limestegnet. Det fremgår heller ikke, hvornår eksistensen af grænseværdien sluttes, - og indtil da kunne de opskrevne udtryk jo være meningsløse. Skrivemåden forleder ofte studenter til helt at overse eksistensproblemet. De siger blot, at de vil "finde limes".

Citat slut. 

 #15 Jeg har set på din profil, at der ikke er en eneste, der finder bare et af dine svar brugbare.