Eksamenssæt

Her er opgaven. 

 Her er løsningen

opgave 1

a) Det er for mig klart at "2i" er den ene pol. Jeg kan ikke se hvorfor der skulle være to af disse ?

b) Uligheden hvor e^(-y) kommer frem. Hvorfor gælder dette og hvordan kommer vi frem til det sidste. Jeg kan slet ikke se argumentet i dette.

c) Jeg bruger også Res.sæt. Men hvorfor får de (-1/12 * e^-z) ?

Opgave 2

b) Ville gene se en mere eksplicit udregning

c) Hvad sker der her?

#3

Opg 1) a) Der er jo 3 rødder i z³ + 8i = 0 . Den ene er 2i , og de to andre er -i±√3

b) Der gælder e^iz = e^i(x+iy) = e^-y·e^ix , så |e^iz| = e^-y , hvor x,y er real- og imaginærdelen af z.

 opg.1 a) hvordan udleder du det?

#5

z³ + 8i = (z-2i)(z² + 2iz -4) = 0 ⇒ z = 2i ∨ z² + 2iz - 4 = 0 .

Det sidste 2.-gradspolynomium har rødderne z = -i ±(√(-4 + 4·4))/2 = -i ± (√12)/2 = -i ± √3 .

 Så du deler polynomiet med (z-2i) og finder et nyt. det giver mening

#7

Fordi 2i er rod i z³ + 8i (det eftervises hurtigt), findes der jo et polynomium p(z) af grad 2, så at z³ + 8i = (z-2i)·p(z) . Det er klart, at p(z) må have formen z² + az - 4 , fordi konstantleddet i z³ + 8i kun får bidrag fra konstantleddene i z-2i og p(z) . Tilbage er så at afstemme a, så (z-2i)·p(z) bliver lig med z³ + 8i .

Hvad gør man med de andre spørgsmål, som jeg har fremhævet?

#9 - #3

Opg 1 c) Det er ikke -(1/12)·e^-z , men (-1/12)·e^-2 for det ene residue.

Opg 2)

b) Kurven γ(t) er cirklen med centrum i 0 og radius 1/4 . Den forløber klart i G . Kurven μ(t) er cirklen med centrum i (1/2) og radius 1/2 ; den forløber også klart i G. Opgavebesvarelsen i #2 giver ret detaljeret beregningerne til de to integraler. Kurven γ løber omkring den ene pol i 0 . Inden for kurven μ er der ingen poler for f, og integralet er derfor 0.

c) Her betragtes nu funktionen g(z) = f(z)·e^{-(π/2)i(z+1)} , og det vises, at Res(g(z),z=0) = -i , da e^{-(π/2)i(z+1)} ikke har nogen poler og antager værdien -i for z = 0 . Heraf følger, at integralet af g(z) langs kurven γ(t) bliver 2πi·(-i) = 2π .