Faktorisering: 3. og 4. gradspolynomier

Den generelle form for et faktoriseret 3.-gradspolynomium er

a(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃) ,

hvor x₁, x₂, x₃ er rødderne . Det er bare ikke altid nemt at finde rødderne.

Polynomiet af 4. grad er faktoriseret på formen

a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4) ,

hvor x1, x2, x3, x4 er rødderne . Det er ikke altid muligt at faktorisere disse polynomier i faktorer med reelle koefficienter.

 Kan man ikke finde rødderne ved at sætte funktionen lig nul og løse den mht x? 

#2

Jo, det er jo sådan man finder rødderne, som løsningerne til ligningen p(x) = 0. Hvis man har faktoriseringen, aflæser man jo rødderne direkte af faktoriseringen; men kender man kun polynomiets koefficienter, er det ikke altid nemt at finde rødderne. Jeg tænker her på at finde rødderne ad analytisk vej, ikke blot ved hjælp af et numerisk CAS værktøj. Algebraens fundamentalsætning siger, at ethvert polynomium har en rod, og dernæst kan man vise, at ethvert polynomium af grad n kan faktoriseres på formen

p(x) = a(x-x₁)·(x-x₂)·...·(x-x_n),

men sætningen garanterer ikke, at rødderne x₁,...,x_n er reelle, og den anviser heller ikke, hvordan man kan finde rødderne.

 Tror du man skal kunne alt ovenstående når jeg kun har det på b-niveau?

#4

Jeg har ingen anelse om, hvad du skal kunne. Det må du vel kunne se i din lærebog, der gennemgår dette. Jeg har blot forsøgt at besvare det spørgsmål, du har stillet her.

Det skal du ikke kunne.

Til eksamen kommer du maksimalt op i en opgave, hvor det er vigtigt at kende til det faktoriserede andengradspolynomium. Men husk da endelig på #3, det er da glimrende viden. :-)

 Ja det er rigtigt. Mange tak for hjælpen. :)