Fourier transformation i S' for ortogonalskift

#0 med S' mener du tempereret distributioner ikke sandt?

Det er klart at T(O) afbilder S ind i S samt at den tilsvarende operator afbilder S' ind i S'.

For en given testfunktion ψ i S haves

F[T(O)ψ](ξ)=∫e^-iy·ξψ(O^-1y)dy=∫e^-iOx·ξψ(x)dx=∫e^-ix·O*ξψ(x)dx=F[ψ](O*ξ)=[T((O*)^-1)ψ^](ξ)=[T(O)ψ^](ξ)

eftersom (O*)^-1=O. Hvilket for vilk u i S' giver

<F[T(O)u],ψ>=<T(O)u,Fψ>=<u,T(O^-1)Fψ>=<u,F[T(O*)ψ]>=<Fu,T(O*)ψ>=<T((O*)^-1)Fu,ψ>=<T(O)Fu,ψ>

som ønsket :-)

Tak for svaret Dynin. Jeg forstår din besvarelse nogenlunde. Kan jeg få dig til at hjælpe mig med følgende tilsvarende opgave.

For λ∈R\{0} betragtes μ_λ(x)=λx og den tilsvarende koordinatskifteafblidning T(μ_λ)u(y)=u(y/λ)=u(x), for y=λx ... hvordan hænger den Fourier transformerede af T(μ_λ) sammen med T(μ_λ)

#2 som i #1 haves

F[T(μ_λ)ψ](ξ)=∫e^-iy·ξψ(y/λ)dy=∫e^-iλx·ξψ(x)|λⁿ|dx=|λⁿ|F[ψ](λξ)=[|λⁿ|T(μ_1/λ)ψ^](ξ) hvoraf

<F[T(μ_λ)u],ψ>=<T(μ_λ)u],Fψ>=<u,|λⁿ|T(μ_1/λ)Fψ>=<u,F[T(μ_λ)ψ]>=<Fu,T(μ_λ)ψ>=<|λⁿ|T(μ_1/λ)Fu,ψ>

dvs. F[T(μ_λ)u]=|λⁿ|T(μ_1/λ)Fu