Potensfunktionen

Min disp fra mat B:  (er lige blevet færdig med mundt mat eksamen i dag!!!)

I matematik er modeller et udtryk der forsøger at beskrive sammenhængen mellem to størrelser. En matematisk model er en overførsel af nogle virkelige forhold til en beskrivelse, som kan analyseres med matematik. Typisk vil der indgå en forsimpling af de virkelige forhold, for at det bliver muligt at beskrive dem matematisk.
En potensudvikling eller potentiel udvikling er en matematisk model med regneforskriften y = b•xa, hvor konstanten b tilhører de positive reelle tal, mens a tilhører de vilkårlige reelle tal og x tilhører alle de positive reelle tal.
x er den uafhængige variabel og y er den afhængige variabel.

a beskriver om potensudviklingen er henholdsvis voksende eller aftagende.

b angiver y-værdien for x=1. Det skyldes, at når man sætter 1 ind på x’s plads, så er det ligegyldig hvad du opløfter x i, så vil det blive lig 1, fx 112 = 1, og ganges b med 1, så får man bare b. Dvs., at man kan gå ud af x-aksen og ramme grafen for en potensudvikling, og derudfra kan man så gå ind på y-aksen og aflæse b-værdien.

Hvis b = 1 kaldes funktionen for en potensfunktion, og har således forskriften f(x) = xa.
Potensudviklinger har en y-værdi, der vokser med en fast procentsats når x-værdien vokser med en bestemt procentsats, i modsætning til fx eksponentielle udviklinger.

For potensudviklinger gælder at hvis:
En potensudvikling y = b•xa er voksende er a > 0.
En potensudvikling y = b•xa er aftagende er a < 0.
En potensudvikling y = b•xa er konstant lig med b er a = 0.

Når man skal bestemme regneforskriften for en potensudvikling anvender man to formler, hvor (x1, y1) og (x2, y2) er punkter i et koordinatsystem. Tallet a kan udregnes via formlen . Tallet b kan udregnes via formlen . (BEVIS)

Hvis man skal løse en ligning som fx 17x 0,32 = 10, og man gerne vil bestemme x-værdien, men altså kender y-værdien, så kan man bruge følgende formel:

a√y/b

(bevis evt.)

Noget ganske særligt ved netop potensudvikling er, at når x multipliceres (fremskrives) med k, multipliceres (fremskrives) y med ka. Dvs., at når x ganges med k så bliver den nye y-værdi ka gange så stor som den forrige y-værdi. (bevis evt.) - dette kan også beskrives som, at der for potensudviklinger gælder, at der er tale om en procent-procentvis-vækst, og det betyder, at når x eller y vokser men en given fast procent, så vokser omvendt også x eller y med en fast procent.
Hvis x gives en relativ tilvækst på r1, så får y en relativ tilvækst på r2:

1 + r2 = (1+r1)^a

(du kan evt. prøve at indsætte eks.: når x vokser med 17% hvad vokser y så med procentvis?)
.
En funktion er en potensudvikling hvis og kun hvis dens graf er en retlinet graf i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem, hvilket jo som bekendt også gælder for lineær sammenhæng, dog med et almindeligt koordinatsystem, og en eksponentiel udvikling, dog med et enkeltlogaritmisk koordinatsystem.

EKSEMPEL

Sammenhængen mellem diameter og højde for visse træer kan beskrives ved modellen y =21,4•x 0,631

Hvor x (meter) er træets diameter 1,5 meter over jorden, og y (meter) er træets højde.

Et bestemt træs diameter er over en periode vokset med 40%.

a) hvor mange procent højere er dette træ blevet?
Her bruges formlen fra før, dvs. 1 + r2 = (1+r1)^a. I dette tilfælde er det r1 vi skal bestemme, idet der er tale om at træs diameter (som jo var x i forskriften) er blevet 40% større (dvs. en voksende potensudvikling). Nu skal vi så finde ud af, hvad r2 bliver, altså den relative tilvækst for y og således træets højde i forskriften, når x vokser med 40%.

1 + r2 = (1 + 0,17)^0,631 = ?? (prøv at isolere r2 og dernæst gange med 100% - så får du den procentvise vækst for y)

Dvs., at når x vokser med 40%, altså når træets diameter vokser med 40%, så vil y, og dermed højden, vokse med 23% for disse træer.
 

tilføjelser:

    Vis hvordan man kan bestemme potensfunktionen ud fra to vilkårlige punkter (som grafen går igennem)

                               y₂/y₁ = (x₂/x₁)^a

                               log(y₂/y₁) = a·log(x₂/x₁)

                               a = log(y₂/y₁) / log(x₂/x₁)

                               b = y₁/x₁^a = y₂/x₂^a

Vis at hvis x-værdien vokser med en faktor k så vil funktionen vokse med en faktor k^a

                               x₂ = k·x₁ ⇔ (x₂/x₁) = k              indsat i y₂/y₁ = (x₂/x₁)^a

                               y₂/y₁ = k^a

                               y₂ = k^a·y₁

 jeg skal op i mundtlig matematik i 2g på b-niveau, hvilket jeg ikke er så glad for!

tror i at i kan hjælpe mig med dette spørgsmål?

differentialregning:

gør rede for begrebet differentialkvoten og afledt funktion.

udled differentialkvoten for x^2

gør rede for regneregler for differentialkvotienter, og hvordan disse kan benytttes til differentiering af polynomier og andre funktioner med flere led.

Håber i  kan hjælpe :)
 

Hvis du har Trips grundbog 2 så står alt i den ...

desværre nej :(