Kontinuerte funktioner - hvad er det modsatte?

At en funktion er kontinuert svarer til at f(x) -> f(x₀) for x -> x₀ .. Hvis dette ikke er tilfældet er funktionen altså ikke kontinuert.. Dette kan f.eks. ske hvis funktionen springer i ét punkt..

Du kan ikke udregne et areal under noget, som ikke er der. Desuden har alle kontinuerte funktioner en tilhørende stamfunktion.

En funktion som ikke er kontinuert er f.eks en gaffel funktion

f(x) =     x + 2   ,    for x   større end 5

              x +3   ,    for x mindre end 3

#0

Det er ikke nødvendigt, at en funktion er kontinuert, for at integralet eksisterer. Lad en funktion f(x) være defineret på et interval [a;b] . Funktionen kaldes stykkevis kontinuert, hvis der findes en opdeling af intervallet [a;b] i et endeligt antal delintervaller

[a;b] = ∪[a_i;a_i+1] ,

således at f(x) er kontinuert i hvert af intervallerne ]a_i;a_i+1[ . Hvis f(x) også er begrænset i hvert af disse intervaller, eksisterer det bestemte integral af f(x) over hele intervallet [a;b] :

_a∫^b f(x) dx = ∑ _ai∫^a_i+1 f(x) dx

En stepfunktion er et eksempel på en stykkevis kontinuert funktion, og man finder en stamfunktion til en stykkevis kontinuert funktion ved at finde en stamfunktion i hvert af de delintervaller, hvor funktionen er kontinuert.

En begrænset reel funktion som ikke er integrabel kunne være.:

f : [0,1] -> R

f(x)=  { 1 , når x er irrational

            0 , når x er rational

#4

Nu nævnte jeg en stykkevis kontinuert funktion for at prikke hul i den formodning, der skinner igennem i #0, at en funktion skal være kontinuert for at være integrabel.

Vi er helt enige i, at der er masser af patologiske eksempler på ikke-kontinuerte funktioner, der ikke er integrable.

f er differentiabel ⇒ f er kontinuert  ⇒ f er integrabel,
men du kan ikke gå den anden vej!
Der er masser af funktioner, der er integrable men ikke-kontinuerte (fx alle de funktioner, der springer i et enkelt punkt, men ellers er kontinuerte) og der er masser af kontinuerte funktioner, der er ikke-differentiablble (alle dem der knækker i et punkt).

Jeg ved ikke hvad forskriften er, men det her er en ikke kontinuert funktion :)

                                                                                            _
                                                                                         _
                                                                                     _ 
                                                                                 _
                                                                             _
                                                                        _

Hvis du vil have det visualiseret så her :)

#7

Det ligner en stepfunktion, og det er korrekt, at den ikke kontinuert, men den er stykkevis kontinuert, og den er også integrabel, idet man beregner de bestemte integraler under hvert step, og lægger integralerne sammen til sidst.

#5

Ville nu ikke ligefrem kalde det et patologisk eksempel :)