Ingtegral regning - grundlæggende spørgsmål

At bestemme en stamfunktion er det modsatte af at differentiere. Der var en berømt matematiker der engang sagde at differentiere er et håndværk at integrere er en kunst.

Definition:

Lad funktionen f være defineret i et interval I. En funktion F siges at være stamfunktion til f, hvis F er diffentiabel i I, og det for alle x ∈ I gælder:

F'(x) = f(x) 

Ved differentialregning bestemmes bl.a. tangentens og dermed grafens hældning, men det kan også bruges til f.eks. optimering.

Et ubestemt integrale er en funktion, et bestemt integrale er et tal, og ganske rigtigt arealet under grafen i et givent interval.

#1 hvor finder du den definition henne? betragt Heavisides funktion:

H(x) = { 1 for x >0

                1/2 for x=0

                0 for x<0

Der ikke er kontinuert, men integrabel med stamfunktion

F(x) = { 0 for x ≤ 0 

              1 for x > 0

Der er kontinuert men ikke differentiabel.Men F(x) er stadigvæk H(x)'s stamfunktion.

Så når man bestemmer en stamfunktion, bestemmer man ALTID arealet? I hvertfald ved det bestemte integrale, for der får man jo en talværdi.

Men bestemmer man ikke også arealer ved det ubestemte integrale?

i #2 skal det være

F(x) = { 0 for x ≤ 0

              x for x > 0

Det forstår jeg ikke

Svar #2 Definitionen stammer fra bogen Integralregning og Sandsynlighedsregning af Claus Jessen, Peter Møller & Flemming Mørk fra Gyllendals forlag ISBN 87-00-36958-6 og er en af tre bøger der skulle dække pensum til det treårige forløb til A-niveau for matematisk gymnasium.

Det er mit indtryk at det er det, det meste handler om herinde på studieportalen.

#2 såvidt jeg husker fra min tid i gymnasiet, antages funktioner normalt at være kurvesammenhængende (dvs. kontinuerte) og isåfald holder definitionen i #1 ;-)

#7

I så fald er #1 vel bare analysens fundamentalsætning?  :)

#8 ja ... men mere kræves der vel ikke på gymnasieniveau?

#9

Det ville undre mig andet.

Analysens fundamentalsætning skrevet på en lidt anden måde:

Antag at er kontinuert. Da er integrerbar på ethvert interval hvor . Funktionen

er differentialbel, og

Fra Tom Lindstrøms bog Kalkulus ISBN 82-00-22823-1

#2 hov ... jeg var vist lidt hurtig med mit svar. #1's definition er korrekt ... dit eksempel med Heaviside funktionen holder ikke, da F(x) ikke er differentiabel! H(x) er kun integrabel ... den har ikke en stamfunktion!

Man kan vise at hvis f er kontinuert, så har denne en stamfunktion (det I kalder analysens fundamentalsætning).

#2/#11 Infinitesimalregningens hovedsætning (som jeg tror I hentyder til) gælder meget mere generelt:

Lad I⊆R være et interval og lad f:I→R være lokalt integrabel (dvs. integrabel på [a,b]⊆I). For ethvert a∈I er funktionen F:I→R defineret ved F(x):=∫_a^xf(t)dt,     x∈I

kontinuert, og hvis f er kontinuert i x₀∈I er F differentiabel i x₀ med F'(x₀)=f(x₀)

#12

Okay havde lige misset at en stamfunktion for en funktion f faktisk pr. definition betyder en funktion F så F'=f. My bad.

Er aldrig blevet præsenteret for den sætning :)