Bevarelse af angular momentum

OBS grænserne på det integrale jeg har lavet er fra L₁ til L₂

Nej, det kan du ikke. dL/dt (summen af de ydre drejningsmomenter ∑τ_ydre i forhold til et fast punkt i et koordinatsystem, en vigtig pointe) kan du ikke skille ad i dL og dt, det er ikke nogen brøk. De indre drejningsmomenter er i.h.t. Newtons aktion/reaktion princip lig 0, de udlignes parvis). Og så skal der ikke stå "minus" foran, men for eksempel L₂+L₁. Fortegnet fremgår af vektorens orientering. Størrelsen Iω er for stive legemer, der roterer ommirng en fast akse, hvor L er komponenten langs aksen.

Beviset går på følgende: Det angulære moment er defineret ved l=m*(r×v). Differentierer i begge sider fås dl/dt = m*(r×dv/dt + dr/dt×v. dv/dt er partiklens acceleration, og dr/dt er dens hastighed. Vi kan omskrive til dl/dt = m*(r×a +v×v), men v×v=0, så dl/dt bliver derfor til r×m*a. Ved benyttelse af Newtons 2. lov (∑F=m*a) får vi dl/dt=r×∑F=∑r×F, og da r×F er τ, så fås ∑τ=dl/dt.

Af magelighedsgrunde har jeg udeladt vektornotationen. Nu kan du selv finde det for et system af partikler. Ja hvis ingen ydre kræfter virker på det foreliggende system, så er dL/dt=0<=>L er en konstant for et isoleret system.

Et praktisk eksempel. Du sidder på en drejestol og en skubber dig i gang. Du strækker dine arme ud eventuelt med en vægt i hver hånd. Du starter altså med en høj rotationsinerti og en relativ lille angulær hastighed. Hvis du sætter rotationsinertien ned, så vil du automatisk øge din vinkelhastighed. Det angulære moment forbliver derfor uforandret.

Da du nu har skrevet integralet, så kan du betragte det som grænseværdien af en sum, så det jeg har skrevet gælder generelt.

Jeg må være ærlig at jeg ikke helt er med på hvad du mener, det blev vist lige lidt for kompliceret for mig ;) når jeg stadig ikke helt forstår begreberne. Men det ser ud som om at det bevis du laver er at vise at: dL/dt = ∑τ hvorimod det jeg vil vise er at hvis ∑τ=0 er dL/dt=0 og det medfører at ω₁*I₁ = ω₂*I₂. Men jeg forstår ikke helt hvorfor jeg ikke må splitte lige netop dette udtryk dL/dt når vi ellers gør med mange andre lignende differentialkoefficienter? Kan jeg så argumentere på følgende vis:

dL/dt=0 => L=konstant => L₁=L₂ => ω₁*I₁ = ω₂*I₂

Så har jeg undået at pille ved dL/dt men kun tolket at da den ikke ændres over tid, må angular momentum til tiden 1 være L₁ som vil være lig med den angular momentum på et senere tidspunkt L₂.

Det med bare at gange med dt i en differentialkvotient dy/dt kan kun gøres i specielle tilfælde, hvor man har vist at det går godt. dy/dt er ikke en brøk men en besked om at der skal laves en kompliceret matematisk operation på funktionen y. Det går ofte godt; men det skyldes en meget hensigtsmæssig formulering af differentialkvotienten Noget andet er at nogle fysiker bare gør det uden at spekulere på om det er tilladt.

I #2 er der netop vist at dL/dt = ∑τ og dermed at hvis ∑τ = 0 er dL/dt = 0. Som du så rigtig skriver betyder det at L = L₁+L₂ = konstanr vektor. Du kan ikke deraf slutte  at L₁ =± L₂ Du kan kun slutte at impulsmomentet er bevaret.

Lind, ved du, om man kan betraget en gallakse som et stift legeme? Jeg ved godt, at det er alt andet end stift, men i dette tilfælde ser det ud til at det angulære moment ikke er bevaret. Jeg har læst, at der forsvinder stof fra universet, og det må vel kunne tolkes derhen, at bevarelsessætningerne ikke gælder i den målestok - eller hvad? Vi havde det for et par år siden om en vis pseudomomentumtensor, der angiveligt skulle kunne gøre rede for stoffets forsvinden, og det ser da også pænt ud på papiret, men indtil jeg er helt overbevist, så må bevarelsessætningerne gælde. Det kunne jo også tænkes, at stoffet bliver omdannet til ren energi, og så forsvinder det ud i universet ikke? Det er lidt kompliceret det astrofysik, synes jeg.

#5: Om du betragter en galakse som et stift legeme afhænger af det du regner på - regner du galaktisk dynamik, så kan du ikke, men regner du på kosmologiske størrelsesordener, så kan du sagtens.

Tak Jerslev, det var også i kosmisk målestok, jeg tænkte på. Hvis der kun var een (super)gallakse i verdensrummet, så var det jo nok som "enkeltpartikler" vi skulle regne på dens dynamik. Men ligemeget - det finder jeg selv noget om.

#4: Hvis jeg ikke kan slutte at L₁=L₂ hvordan viser jeg så at ω₁*I₁ = ω₂*I₂ når ∑τ=0? Kan jeg i stedet for slutte at i det L=konstant så er L₁=L₂ Altså længderne af L₁ og L₂?

Jeg have mere at vide om det fysiske system for at besvare det. Generelt kan der ikke sluttes andet end at impulsmomentet er konstant.

Ok, tak, men jeg kan sådan set godt bevise det, men det er mega langt bevis, hvis det altså er et bevis, og jeg orker det faktisk ikke i den varme.

#9: det er taget fra min bog at ω₁*I₁ = ω₂*I₂ som jo ses som at angular momentum til start er lig med angular momentum til slut. Der står ikke rigtig noget videre som gør at jeg kan give mere viden om det fysiske system. Jeg ville bare meget gerne bevise det, da jeg er ved at læse 1. års fysikpensum op og hvor jeg beviser alt hvad jeg overhovedet kan, da det også tit giver mig en bedre forståelse af formlerne. Desværre har det her jo voldt mig lidt problemer ;)

Hvis ω₁*I₁  er impulsmomentet ved start og ω₂*I₂ er impulsmomentet ved slut følger det af at impulsmomentet er en konstant. At det er konstant betyder jo at det er det samme til alle tider og dermed specielt at impulsmomentet ved start er det samme som ved slut.

Okay, det var også det jeg prøvede at vise med at skrive dL/dt=0 => L₁=L₂ hvor det er ment som at ved start er impulsmomentet L₁ og til slut er det L₂. Jeg kunne måske skrive det således:

dL/dt=0 => L=konstant => L_start= L_slut => ω_start*I_start = ω_slut*I_slut

Det bør da være en korrekt slutning eller hvad? Altså det er jo lidt det samme som jeg har lavet tidligere, men jeg kan simpelthen ikke se at jeg ikke skulle kunne udlede det sidste udtryk således, for vi har jo at L=ω*I og dL/dt=0 må jo medføre at impulsmomentet ved start er lig med impulsmomentet til slut altså L_start= L_slut og da vi havde at L=ω*I må det jo være ensbetydende med ω_start*I_start = ω_slut*I_slut.

Her er igen brugt fed skrift for vektorer for at skille dem fra resten.

Lidt om angulær moment samt bevarelse heraf.

Først og fremmest er ∑τ_ekstern=dL/dt rotationsudgaven af den translatoriske (lineære) formel af Newtons lov, der hedder ∑F_ekstern=dP/dt. Du har lært om energibevarelsen, og vi har her bevarelsen af vinkelmomentet. Det vil altså sige, at ligegyldigt hvilke ændringer, der forekommer indenfor systemet (altså ingen ydre kræfter), så er L en konstant. Det er altså en vektorligning, vi her har, og den er ensbetydende med tre skalære ligninger (som altid). Det er bevarelsen af momentet i tre indbyrdes vinkelrette retning. Det er værd at bemærke at disse bevarelseslove også gælder for partikler, der bevæger sig i nærheden af lyshastigheden, og den gælder også for subatomare partikler, hvor kvantelovene regerer. For det angulære moment af et stift legeme, der roterer omkring en fast akse (for eksempel den jeg gav dig med stolen, tilnærmelsesvist). Hvis vi tænker os z-aksen som den akse legemet roterer omkring med vinkelhastigheden ω, så opsummerer vi z-komponenterne af det angulære moment af masseelementerne (Δm_indre i legemet, mens det roterer i en cirkelbevægelse. Dette legemes position er bestemt i forhold til origo af positionsvektoren r_i. Radius af den cirkulære vej er r_vinkelret, altså den vinkelrette afstand mellem masseelementerne og z-aksen. Størrelsen af det angulære moment med hensyn til origo er således l_i=r_i*p_i*sin(90 grader)=r_i*(Δm_i*v_i), hvor p_i og v_i er det lineære moment og den lineære hastighed. Vi interesserer os for komponenten af l_i, der er parallel med rotationsaksen (her z-aksen). Nu springer jeg lige til formlen:

L_iz=∑l_iz, i = 1-n, = ∑Δm_iv_ir_vinkelret=Δm_i(ωr_vinkelret,i)r_vinkelret,i=ω(∑Δm_ir²_vinkelret,i). ω står foran summationstegnet, fordi det er konstant, altså det har samme værdi for alle punkter på det roterende legeme. Størrelsen i parentes kalder vi legemets rotationsinerti I omkring den faste akse, så alt i alt får vi L=Iω

Bevarelseslovene for energien og for det lineære moment har du haft. Her er den tredje lov, bevarelsen af det angulære moment. Man kan ikke som sådan bevise denne lov, den er jo universel, ligesom tyngdekraften heller ikke kan bevises, blot påvises, så dL/dt=0 (for et isoleret system, hvilket er ensbetydende med, at det ikke er påvirket af ydre kræfter) <=> L er en konstant. Her er altså størrelsen (produktet) Iω konstant. Man kan summerer op ved at skrive:

Hvis ingen ydre kræfter virker på et system, vil det angulære vektormoment L af systemet forblive konstant, og s¨er det 8underordnet, hvilke ændringer der sker inden i systemet. 

#13 Ja. Det er nogenlunde det samme som jeg skrev i #12. At det impulsmomentet er en konstant er en mere generel end at det er det samme ved start og slut., hvilket gør det til en mere interessant sætning.

Okay i skal have mange tak for al jeres hjælp, jeg har dog stadig lidt forvirring, men mon ikke det går op for mig en dag ;)

De venligste hilsner

Rasmus