Hjælp hurtig: Bestem arealet af trekant ABC

ubs Vinklen mellem ->AC er 97,71°

Du kan starte med at danne to retningsvektorer; fx. vektor_AB og vektor_AC

Find herefter krydsproduktet mellem disse to vektorer, hvorefter du skal finde længden af krydsproduktet. Længden af krydsproduktet ganger du slutteligt med ½, da dette er trekantens areal.

NB.: Ganger du ikke med en halv, får du nemlig det parallelogram (areal), der udspændes af de to retningsvektorer.

Du behøver altså i teorien ikke at benytte vinklerne til noget som helst!

Vil du prøve at regne det ud med udregninger, så kan jeg bedre forstå det

Ja selvfølgelig. Jeg går ud fra at I har lært om vektorer i rummet! Prøver at beskrive fremgangsmåden så godt som muligt!

Når man regner arealet på denne måde, starter jeg lige med at tilføje et z-koordinat, men dette skal du ikke tage dig af, da denne jo blot må være 0. Dette betyder at koordinaterne altså hedder:

A = (-2,1,0)     B = (7,-2-0)     C = (5,7,0)

Nu skal vi så, som beskrevet, finde to retningsvektorer, som sagtens kunne være vektor_AB og vektor_AC. Dette gøres ved at trække begyndelseskoordinatet fra slutkoordinatet. Altså:

vektor_AB = (7,-2,0) - (-2,1,0) = (9,-3,0)

vektor_AC = (5,7,0) - (-2,1,0) = (7,6,0)

Nu skal vi så finde krydsproduktet, som kan gøres med lidt hjælp fra lommeregneren. Det skrives således:

vektor_AB x vektor_AC = (9,-3,0) x  (7,6,0) = (0,0,75)

Nu skal vi så finde længden af krydsproduktet, som er den nummeriske værdi af ovenstående.

da jeg ikke rigtigt kan skrive tegnene herinde gør jeg bare sådan: nummerisk værdi af (0,0,75) = 75

... og da vi skal finde trekantens areal (som foreskrevet tidligere) skal vi blot bruge det halve af ovenstående. Altså bliver arealet:

A = 75/2 = 37,5

Forstår du hvad der er gjort?

Har lige rettet et par enkelte fejl i mit indlæg!

Kan du forklare hvorfor du tilføjer et z koordinat? Vi har ikke lært noget om z koordinater nemlig, så en forklaring på det ville være super.

Også hvordan får du 0,0,75 , og hvorfor skal det divideres med 2?

og er svaret 37,5 cm² eller?

Her er en alternativ fremgangsmåde til kimor's eller korrekte fremgangsmåde.

Længderne af siderne i trekanten kan beregnes ud fra de tre vektorer AB, AC, og BC . Ved denne beregning bemærkes, at trekanten er ligebenet, idet |AB| = √90 og |AC| = |BC| = √85. Da trekanten er ligebenet, kan vi med fordel beregne højden h på grundlinien AB af Pythagoras, idet

|AC|² = h² + (|AB|/2)² , så

h² = 85 - 90/4 = (170-45)/2 = 125/2 , og dermed

h = (√250)/2 = (5/2)·√10 .

Trekantens areal er da

T = h·|AB|/2 = (5/2)(√10)·(√90)/2 = 30·5/4 = 75/2 = 37,5

Ja.. Helt grundlæggende kan man sige, at grunden til at jeg tilføjer et z-koordinat er den, at man skal bruge 3 koordinater til at finde krydsproduktet, som i dit tilfælde giver (0,0,75). Z-koordinatet betyder jo egentlig ikke noget i din sammenhæng, da den er 0 alle steder. Idet den netop er 0 alle steder, er planen (arealet) ikke i et tredimensionelt koordinatsystem. Så det er altså bare et redskab for at kunne udregne krydsproduktet.

Normalvis vil man bare bruge sin computer eller lommeregner til at udregne krydsproduktet, men hvis du vil have forklaringen på de (0,0,75) kommer formlen her:

Vektor_AB x Vektor_AC = ((a₂*b₃ - a₃*b₂) , (a₃*b₁-a₁*b₃) , (a₁*b₂-a₂*b₁)) = (0,0,75)

A₁, A₂ og A₃  er selvfølgelig punktet A's x,y og z koordinat. Det samme gælder med B og C. Prøv evt. at regne efter.

Grunden til at resultatet skal divideres, er, som jeg sagde i #2, at hvis ikke du gør det, finder du arealet af et parallelogram, som vektorerne udspænder. Vi skal have halvdelen af parallelogrammet, som er trekanten - derfor divideres med 2.

Hvis enhederne i koordinatsystemet er angivet i cm. er svaret 37,5 cm², ja!

takker. hvordan laver jeg denne nu??

2. koordinaten for punkt C ændres, således at punkt C nu har koordinaterne C(5,y) og y>0.

d) Bestem punkt C’s y-koordinat således, at arealet af trekant ABC bliver 28,5 enh2.
 

tegn punkterne P₁(x₁,y₁)   P₂(x₂,y₂)   P₃(x₃,y₃)   
ind i et koordinatsystem P₁, P₂ og P₃ i nummerrækkefølge
følgende koordinatsystemets positive omløbsretning!

  trekantsarealet kan da beregnes
  af
                                                    T = (1/2)·[x₁·(y₂-y₃) + x₂·(y₃-y₂) + x₃·(y₁-y₂)]

 som med A som P₁
    giver

                                                    T = (1/2)·[-2·(-2-7) + 7·(7-1) + 5·(1-(-2))]

                                                    T = (1/2)·[-2·(-9) + 7·6 + 5·3]

                                                    T = (1/2)·[18 + 42 + 15]

                                                    T = (1/2)·75 = 37,5

 C 's y-koordinatændring          
                                                    T = (1/2)·[-2·(-2-y) + 7·(y-1) + 15] = 28,5

                                                     4+2y + 7y-7 + 15 = 57

                                                     9y + 12 = 57

                                                     9y = 45

                                                     y = 5

Hm, jeg fik det til 2, da jeg prøvede. ;/

Sådan lyder mine udregninger ;/

C’s y koordinat kalder jeg for k (koordinat)

28,5 = ½ (9 * 6 – (-3) * k )
57 = 54 + 3k
57 – 54 = 3k
3 = 3k
k = 1
7-1 = k
y = k + 1 = 1 + 1 = 2
Resultat = C’s y-koordinat er 2