parameterfremstilling

Du mener formodentlig, at planen α har ligningen

2x - 5y + 3z = 4

Planen β har parameterfremstillingen

(x ; y ; z) = (1 ; 2 ; 3) + t(1 ; 2 ; 1) + s(1 ; 0 ; 1) ,  t, s ∈R

De to planer skærer hinanden i en linie l, hvis parameterfremstilling skal findes.

Indsæt x, y, z udtrykt ved t og s fra β's parameterfremstilling i planen α's ligning. Dette giver en lineær ligning mellem s og t, dvs en relation mellem s og t, der skal være opfyldt for alle punkter på skæringslinien l. Ved hjælp af denne relation mellem s og t udtrykkes s som funktion af t, og dette indsættes nu i parameterfremstillingen for planen β, der derved reduceres til en parameterfremstilling med een parameter, t, hvilket er parameterfremstillingen for skæringslinien l.

Der er fejl i opgaven, der skal stå 2x-5y+3z=4. Prøv at finde normalvektorerne til de to planer. Find derefter deres krydsprodukt og se, hvad du kan udlede af det.

Så ikke din Andersen, da jeg selv var i gang, men sådan er det en gang imellem.

#2 Normalvektoren til alfa må være (2, -5, 3), hvordan kan jeg finde det for beta..?

#1 - Jeg fik 5*s-5*t-2 da jeg satte beta's parameterfremtilling ind i alfa's ligning, og s som funktion af t giver:

s= (5*t+2)/5

dette indsat i beta's parameterfremtilling:

x= 2t + 7/5

y= 2*t+2

z= 3*t+22/5

Har jeg gjort det rigtigt?

Og jeg er ikke sikker på om jeg forstår hvorfor l's parameterfremstilling kan beregnes på denne måde.. gider du ikke forklare hvorfor? :)

#5

Indsætter man planen β's parameterfremstilling i planen α's ligning, fås

2(1+t+s) -5(2+2t) + 3(3+t+s) = 4, dvs

(2-10+3)t + (2+3)s = 4-2+10-9 , dvs

-5t + 5s = 3, eller

s = t + 3/5  .

Dette indsætter vi nu i parameterfremstillingen for β:

(x ; y ; z) = (1 ; 2 ; 3) + t(1 ; 2 ; 1) + (t + 3/5)(1 ; 0 ; 1) , dvs

(x ; y ; z) = (8/5 ; 2 ; 18/5) + t(2 ; 2 ; 2) , t ∈ R ,

hvilket er parameterfremstillingen for en ret linie. Punkterne på denne linie opfylder både planen α's ligning og planen β's parameterfremstilling, så vi har fundet den ønskede parameterfremstilling for skæringslinien mellem planerne.