p/q er rod i P? Bevis

Når du forlænger med qⁿ får du et udtryk, hvor alle leddene er hele tal. Et afgørende element er, at p/q er en uforkortelig brøk, så p og q har ingen fælles divisorer. Men hvad er det, du skal vise? Prøv at formulere sætningen. Du antager, at p/q er en uforkortelig rod i et polynomium med heltallige koefficienter, og du kan så vise noget om koefficienterne, f.eks. at p må gå op i a₀ .

Det, jeg skal vise, er muligvis, at (p/q) er rod i P, hvis koefficienterne er hele tal, men det har måske ikke nogen relevans?

Jeg vil gerne kunne vise, hvorfor p må gå op i a0, så hvis du kan forklare det, ville det være dejligt!

(Det skal siges, at det er noter, jeg har taget til en forelæsning i matematik, hvor det foregik ret hurtigt på tavlen. Derfor nåede jeg også kun at få skrevet (det meste) ned, men nåede desværre ikke at høre alle forklaringerne, derfor så mange spørgsmål)
 

Jeg har også følgende noter, men er ikke rigtig klar over, om de siger noget, som jeg skal bruge i beviset? Under alle omstændigheder har jeg også nogle spørgsmål dertil, som du/I andre meget gerne må svare på, hvis I kan :-)

"Hvis a er rod i P, så går D(x) = (x-a) op i P":

P(a) = 0

P(x) = Q(x)(x-a)+R(x) , hvor jeg vil vise, at resten er 0.

P(a) = Q(a)(a-a)+R(x)
P(a) = R(x)

Jeg forlangte, at P(a) = 0, derfor må R(x) = 0.
R(x) er et 0-polynomium, hvor rødderne er x∈R

En af mulighedeerne for nulpunkter:
P(x) = Q₁(x)(x-a) degQ = n-a
Hvis a er rod i P, må a også være rod i Q, da a ikke kan gå op i (x-a) (Hvordan kan det være, at a skal gå op i Q? Leddet på højresiden bliver jo under alle omstændigheder 0 for x=a)

En anden mulighed for nulpunkt:
P(x) = Q₂(x)(x-a₂)(x-a₁) (Jeg forstår ikke, hvorfor jeg kan skrive nulpunkterne op på denne måde, kan nogle forklare det?) degQ₂ = n-2

Graden falder 1 for hver gang, derfor kan man kun fuldføre regneoperationen n gange. Derfor har n'tegradspolynomiet max n rødder inden for et område. (Den argumentation er jeg ikke helt med på - hvorfor viser ovenståede noget om, hvor mange nulpunkter et polynomium max kan have? Jeg ved godt, at det forholder sig sådan, at n'tegradspolynomiet max kan have n nulpunkter og kan også argumentere for det grafisk, men ville gerne forstå ovenstående metode)

#2 -- Du må vel vide, hvilken sætning du ønsker at vise? Hvis du antager, at (p/q) er en rod i P og også er en uforkortelig brøk, kan du vise noget om koefficienterne i polynomiet.

Når det skrives på formen

a_npⁿ+a_n-1p^n-1q+...+a₁pq^n-1 = -a₀qⁿ

ses det, at p går op i hvert led på venstre side. Så må p også gå op i højre side. Da (p/q) er en uforkortelig brøk, har p og q ingen fælles divisorer, og p går da ikke op i qⁿ . Altså må p gå op i a₀ .

Du kan også se, at q går op i højresiden, så q må gå op i venstresiden. Da q går op i alle led på venstre side fra det 2. led og videre, må q også op i det første led a_npⁿ . Igen, da p og q ikke har fælles divisorer, følger det, at p må gå op i a_n .

Ja, men hvordan kan det være, at qⁿ  skal gå op i højresiden, blot fordi det går op i venstresiden? Altså, hvad er det, der gør, at man ikke må ende ud med et udtryk på venstresiden, der ikke er heltal? Det samme spørgsmål mht. pⁿ.

#5 -- Fordi du antager, at (p/q) er en rod i polynomiet, så P(p/q) = 0 . Hvis du har en ligning S = T, og p går op i S, må p også gå op i T.

q går op i højresiden, fordi den er skrevet -a₀qⁿ, og det er hele tal, der indgår. Så må q også gå op i venstresiden og dermed i det første led på venstre side. Og da q ikke går op i pⁿ , må q gå op i a_n .

Jeg tror du glemmer at tænke på, hvad = betyder. Det er præcis samme tal der står på de to sider, bare skrevet forskelligt, så hvis q går op i højresiden, går det op i TALLET.

2·3·7 = 42.
2, 3 og 7 går op i venstresiden og derfor også i højresiden, da det er præcis samme tal.

Sætningen er nok, at hvis p/q er en uforkortelig rod, så gælder at q|a_n og p|a₀.

Man ganger ganske rigtigt igennem med qⁿ for at undgå brøkform og for at se.......
.... at q |højresiden og derfor også i venstresiden.

Da q optræder i alle led undtagen i a_npⁿ, må q|a_npⁿ, og da q ikke går op i pⁿ (for så var p/q forkortelig), må q|a_n.

ad #3

En af mulighederne for nulpunkter:
P(x) = Q1(x)(x-a) degQ = n-a
Den forstår jeg ikke - skulle det ikke være degQ = n-1

Hvis a er rod i P, må a også være rod i Q, da a ikke kan gå op i (x-a) (Hvordan kan det være, at a skal gå op i Q? Leddet på højresiden bliver jo under alle omstændigheder 0 for x=a)
Den forstår jeg heller ikke - der er noget galt.  

Graden falder 1 for hver gang, derfor kan man kun fuldføre regneoperationen n gange. Derfor har n'tegradspolynomiet max n rødder inden for et område.

Hver gang, du har en rod, kan du spalte (x-rod) ud.
Hvis du har z rødder, får du (x-r₁)·(x-r₂)·(x-r₃)· .....· (x-r_z) · ....= .... = x^z + ....
Derfor kan et n'te grads polynomium ikke have flere end n rødder, da du så ved faktoriseringen ville få x^{flere end n}

En af mulighederne for nulpunkter:
P(x) = Q1(x)(x-a) degQ = n-a
Den forstår jeg ikke - skulle det ikke være degQ = n-1. Ja, det skulle være n-1

Hvis a er rod i P, må a også være rod i Q, da a ikke kan gå op i (x-a) (Hvordan kan det være, at a skal gå op i Q? Leddet på højresiden bliver jo under alle omstændigheder 0 for x=a)
Den forstår jeg heller ikke - der er noget galt. Ja, der er muligvis noget galt :-) Men er der nogen sammenhæng mellem, om x=a går op i P og det så også skal kunne gå op i Q?
 

Resten af jeres svar kigger jeg lige nærmere på senere, og vende evt. tilbage med flere spørgsmål. Mange tak for, at har svaret!

Så er jeg her igen :-)

Jeg har rimeligt styr på det nu, men har dog et undrende spørgsmål: hvordan kommer man på den idé, at et nulpunkt  a til et polynomium kan skrives som faktor af formen (x-a)? Jeg kan udmærket se, at hvis jeg faktoriserer et polynomium vha. dets nulpunkter og derefter ganger det ud, at det giver polynomiet, men der må være et bevis for det?

#10

Hvis a er en rod i et polynium P(x), er (x-a) en faktor i polynomiet. At dette er tilfældet følger af Algebraens fundamentalsætning og entydigheden af polynomier.

Tak, det vil jeg prøve at kigge nærmere på!