Matematik

Find løsninge til ligningen (Komplexe tal)

25. september 2010 af xbankaix (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Opgave (a) har jeg fundet ud af, hvor jeg kun skulle simplificere, men jeg forstår ik' hvad jeg skal gøre i opg (b) og (c):

a) Simplificer (d.v.s. skriv på formen z = x + i · y ( x, y ∈ R)):
(1 + 2i)(1 − 2i)
3 + i

Løsning = (15/10) - (5/10)i

b) Find alle løsninger til ligningen z⁴ + 1 = 0 og vis løsningerne på en
tegning.

c) (Lidt udfordring i lyset af ovenstående opgave:) Lad z være det kom-
plekse tal z = x+x·i hvor x∈R, x ≠ 0. Kan du sige noget generelt
om værdien af z⁴? (Argument´er for dit svar!) Hvad gælder for z⁴ hvis
z = x + i · y hvor |x| = |y|?

Nogen der gider hjælpe lidt?

Brugbart svar (0)

Svar #1
25. september 2010 af peter lind

b) z⁴ = -1 = e^π+2pπi hvor p er et helt tal. Uddragning af den 4. rod foregår ved at dele eksponenterne med 4.

c) Omskriv til z⁴ = r*e^iv+2pπi

Brugbart svar (0)

Svar #2
25. september 2010 af Andersen11 (Slettet)

Hvis z = x + ix, hvor x∈R, x ≠ 0, gælder

z = x(1+i) = x√2 e^iπ/4 . Dermed får vi

z⁴ = (x√2)⁴ e^iπ = x⁴·2²·(-1) = -4x⁴ .

Hvis z = x + iy , hvor |x| = |y| (og hvor formodentlig x,y∈R ), gælder y = ± x, og dermed

z = x(1±i) = x√2 e^±iπ/4 . Da fås igen

z⁴ = (x√2)⁴ e^±iπ = -4x⁴ , idet e^-iπ = e^iπ = -1

Brugbart svar (0)

Svar #3
28. september 2010 af funki007 (Slettet)

Hvordan kom du frem til a?

Brugbart svar (0)

Svar #4
28. september 2010 af Andersen11 (Slettet)

Forlæng brøken med den komplekst konjugerede til nævneren

(1+2i)(1-2i)/(3+i) = (1+4)/(3+i) = 5(3-i)/((3+i)(3-i)) = 5(3-i)/(9+1) = (3-i)/2 = (3/2) - (1/2)i

Brugbart svar (0)

Svar #5
29. september 2010 af nahsah (Slettet)

hvordan finder man b) :S altså med hensyn til at man skal dele med 4 :S

Brugbart svar (0)

Svar #6
29. september 2010 af Andersen11 (Slettet)

Ligningen er

z⁴ + 1 = 0 , dvs

z⁴ = -1 = e^iπ . En af rødderne er da z₁ = e^iπ/4 , og samtlige rødder er z = e^{iπ/4+ip(2π)/4} = e^iπ/4+ipπ/2 , p=0,1,2,3

Brugbart svar (0)

Svar #7
29. september 2010 af nahsah (Slettet)

tak.. tror jeg forstå det nu

Brugbart svar (0)

Svar #8
01. oktober 2010 af funki007 (Slettet)

Er der en der kan sætte ord på det, der sker i opgave C?

Hvad kan man sige med ord, hvordan kan man argumenter ?

Tak på forhånd:)

Brugbart svar (0)

Svar #9
02. oktober 2010 af Heaton (Slettet)

Kan det passe at man i opgave B) får en z1=-sqrt(2)/(2)+i-sqrt(2)/2. Fordi man skal tegne sine løsninger ind?

Brugbart svar (0)

Svar #10
02. oktober 2010 af nahsah (Slettet)

husk nu i kan blive busted.. hvis i direkte skriver af

Brugbart svar (0)

Svar #11
02. oktober 2010 af peter lind

Du mener forhåbentlig z1=-sqrt(2)/(2)+i*sqrt(2)/2. Det er den ene af løsningerne. Du får 3 andre ved at lade p i #1 være henholdsvis 1, 2 og 3

Brugbart svar (0)

Svar #12
02. oktober 2010 af Heaton (Slettet)

#11Ja nemlig :)
Men kan ikke se hvorfor du får - i sinusdelen når r=-1

Brugbart svar (0)

Svar #13
02. oktober 2010 af peter lind

r = |z| = kvrod(x²+y²)≥0 og altså i dette tilfælde kvrod( (-1)²+0²) = 1. Du får e^π+2pπi = cos( π+2pπ)+isin( π+2pπ) = -1

Brugbart svar (0)

Svar #14
02. oktober 2010 af multi376 (Slettet)

Brugbart svar (0)

Svar #15
02. oktober 2010 af multi376 (Slettet)

Er der virkelig ikke nogen der vil sætte ord på opg. c, så som #2 hvor kommer 1+x fra og hvorfor det bliver til x√2 eiπ/4 hvad gøre man egentlig her.

Brugbart svar (0)

Svar #16
02. oktober 2010 af peter lind

Der er ikke noget 1+x i #2 !!!

Der er et x√2 e^±iπ/4, Hvis det er det du mener så prøv at omregne det til rektangulære koordinater.

Skriv et svar til: Find løsninge til ligningen (Komplexe tal)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.