Omkostnihg >< fortjeneste

 O'(x) = 0,2 + 0,006*30*cos(0,006x) 

0,006*30 = 0,18  

så selvom cos(0,006x) = -1 , vil O'(x) = 0,2 + 0,18*-1  > 0  

Så O' er altid positiv.

 f(x) = 0,40*x - O(x)

f'(x) = 0,40 - O'(x) = 0,40 - 0,2 - 0,006*30*cos(0,006x) = 0

cos(0,006x) = -0,20/-0,18 => x =  Bemærk dette har mere end én løsning. Men da du har vist at O(x) er voksende skal du vel bare tage den mindste værdi af x i intervallet [0;1000]  

tror jeg nok .

Det er jo det samme med f ' (x).

Så når opgaven siger "Vis, at f(x) har et maksimum og bestem det" - kan man så bare aflevere: "Nej, den har ej" - ?

Til # 2 :

Hvis jeg indsætter x=1 i f(x) får jeg en fortjeneste på minus knap en mio. (!) 

#4 - det passer ikke

f(x) = 0,40x - O(x) 

f(x) = 0.2x+100+30*sin(0,006x)

f(1) = 100,38

Men hvorfor vil du sætte 1 ind på x's plads??

Men du har ret, f(x) har ikke noget maksimum ud fra hvad jeg lige kan se. Fordi  acos til et tal der er over 1 eller under -1 er udefineret. Så f'(x) = 0  har ingen løsninger fordi  -0.2/-.18 > 1

@ # 5

Husk minus'et, idet du trækker O(x) fra salgsprisen

f(x) = 0,2x minus osv. og så bliver "fortjenesten" på -100,30 mio kr. på een enhed.

Jeg indsatte kun x=1 for at se, hvor meget man kan tjene på sådan en "enhed"

Jeg er lidt overrasket over, at man stiller (eksamens-)opgaver til elever, hvor de bedes om at bevise en påstand, som er forkert . . .

Tak for hjælpen ;-)

Det er let nok at vise, at O(x) er voksende.

Fortjenesten er

f(x) = 0,4x - O(x) = 0,4x - 0,2x -100 -30sin(0,006x) .

Ligningen f'(x) = 0 fører til

0,2 -30·0,006cos(0,006x) = 0 , dvs cos(0,006x) = 0,2/0,18 > 1 .

Der er ingen løsninger til f'(x) . Det vil sige, at funktionen f(x) antager sit maksimum i et af intevalendepunkterne x=0 eller x=1000. Det ses let ved udregning, at f(1000) = 108,38 er funktionens maksimum.

Man kan ikke tjene på kun 1 enhed. Man skal op på lidt over 500 enheder, før der er positiv fortjeneste.

I #7 mente jeg, at der er ingen løsninger til ligningen f'(x) = 0, idet |cos(x)| ≤ 1 for alle reelle x . Man opsøger ekstrema i de indre intervalpunkter ved at se på f'(x) = 0, og desuden kan en funktion på et lukket interval antage et minimum eller maksimum i et af intervallets endepunkter.  

@ # 8

Jeg havde godt fattet budskabet allerede i første omgang, men havde blot et problem med opgaveteksten kontra realiteterne, idet jeg forestiller mig en eksamenssituation, hvor det kan medføre, at den studerende kommer i tvivl om beregningernes rigtighed. Og det er uheldigt.

Men tak for din (som altid) grundige analyse af problemet, som bekræftede min fornemmelse af, at der rent opgaveformuleringsmæssigt (godt ord !) var ugler i mosen.

Hilsen / Stoney

#9

Jeg kan ikke se, at der er noget galt i opgaveteksten som sådan. Man bruger jo på en måde f'(x) til at vise, at fortjenesten har en maksimal værdi. Det lumske i opgaven er, at maksimum indtræffer i et intervalendepunkt, således at man ikke finder maksimum ved at løse f'(x) = 0, idet der ikke er nogen stationære punkter for f(x).

Netop - du siger det selv.

Det lumske er, at man er vænnet til, at maksima findes i f ' (x) 's nulpunkter. I hvert fald for de 99 % af opgavernes vedkommende. Og derfor vil den sidste % uvægerligt føre til, at den stakkels opgaveløser bliver mistænksom og bruger uforholdsmæssigt megen tid på at kontrollere sine beregninger, hvilket i den føromtalte eksamenssituation af letforståelige årsager må anses for uheldigt.

Men dine bemærkninger har da inspireret mig til at skubbe vanen lidt i baggrunden og møde opgaverne med et mere åbent sind og en fantasi, som jeg ikke umiddelbart tiltroede opgavekonstruktørerne.

Og dog - en lille nagende fornemmelse af, at det kunne være en smutter er der nu stadig tilbage . . .

Go'måren -  / St.