Parabler og differentialregning

Tangenten til grafen for funktionen f(x) i punktet (x₀ , f(x₀)) har ligningen

y = f'(x₀)·(x -x₀) + f(x₀) .

Da den ønskede tangent skal gå gennem (0,0) , skal der altså gælde

-f'(x₀)·x₀ + f(x₀) = 0 .

Løs denne ligning til bestemmelse af de mulige røringspunkter og vælg så den af tangenterne, der har positiv hældningskoefficient.

Tangentens lignin er y = a*x. Du skal altså finde a. Sæt det ind i parablens ligning og du får en andengradsligning.  Find diskriminanten for denne ligning. Diskriminanten skal være 0 (netop en løsning). Det giver dig en ligning til bestemmelse af a

 Problemet er, at når jeg gør det, får jeg y=-x men jeg stræber efter at finde noget i nærheden af y=1,5x. Har jeg regnet forkert, når jeg får y=-x?

      f '(x_o) = 2x_o - 1

tangentligning i (x_o,f(x_o))

         y = (2x_o-1)·(x-x_o) + x_o²- x_o+(9/4)       gennem (0,0) som ikke ligger på parablen, hvoraf

         0 = (2x_o-1)·(0-x_o) + x_o²- x_o+(9/4)       hvilket løses til

         x_o = (1+√(19)) / 4    og  x_o = (1-√(19)) / 4      hvor kun den positive værdi har interesse

dvs

         f '(1+√(19))/4) = 2·(1+√(19))/4) - 1 = (√(19) -1)/2 ≈ 1,68

#4

Ligningen i x₀ fører nu til ligningen

x₀² = 9/4 = (3/2)²

med løsningerne x₀ = ±3/2 , dvs f'(±3/2) = ±3 -1 , dvs f'(x₀) = 2 eller f'(x₀) = -4 . Kun den positive hældning har interesse, og tangenten med den positive hældning har derfor ligningen

y = 2(x -3/2) + 3 = 2x .

 Tusind tak til alle jer, der har taget jer tid til at svare!