Matematik

logistisk differentialligninger

17. november 2010 af lllXlll (Slettet) - Niveau: A-niveau

Er ved at lave en opgave om logistiske differentialligninger og har et spørgsmål angående mine resultater:
Om en population oplyses, det at den vokser logistisk, og at dens størrelse efter meget lang tid nærmer sig 1000 individer. Til tidspunktet t = 8 er populationen y=600 og væksthastigheden er 30.

Opskriv en differentialligning, der beskriver væksten.
30=a600(1000-600) ?
a=1/800
Dvs.
y^'=1/800*y(1000-y)

Bestem en forskrift for y som funktion af t
f(t)=1000/(1+c*e^(1/800*1000*t) )

600=1000/(1+c*e^(1/800*1000*8) ) ?
c=0,00003026662
Dvs.
f(t)=1000/(1+0,00003026662*e^(1/800*1000*t) )

Hvor mange individer er der til tiden t=35?
f(t)=1000/(1+0,00003026662*e^(1/800*1000*t) )
Dvs.
f(35)=1000/(1+0,00003026662*e^(1/800*1000*35) )
f(35)=0,000000000003 ?????????????

Hvordan kan det være at der er mindre individer efter længere tid.... Har åbentlyst lavet en fejl, men kan simpelthen ikke finde den.
På forhånd tak :)

Brugbart svar (0)

Svar #1
17. november 2010 af PeterValberg

Vi antager at funktionen y(t) opfylder den logistiske differentialligning, der følger modellen y' = ay(M - y)
hvorom vides at:

den såkaldte bæreevne M, som er den største værdi populationen kan antage (eller rettere nærmer sig asymptotisk, når t → ∞) er på 1000 individer (M = 1000)

til tiden t = 8 er populationen 600 individer - altså y(8) = 600
og her er væksthastigheden 30 individer pr. tidsenhed y'(8) = 30

Bestemmelse af konstanten a:

y' = ay(M - y)
30 = a·600(1000 - 600)
30 = a·24000
a = 0,00125

altså har vi nu diff.ligningen: y' = 0,00125·y·(1000 - y)

som har de ikke-trivielle løsninger:

y(t) = M/(1+c·e^-aMt) = 1000/(1+c·e^{-0,00125·1000·t}) = 1000/(1+c·e^-1,25·t)

Indsættes nu oplysningen y(8) = 600 igen får vi tallet c:

y(t) = 1000/(1+c·e^-1,25·t)
600 = 1000/(1+c·e^-1,25·8)
600 = 1000/(1+c·e^-10)
c = (1000-600)/(600·e^-10)
c = (2e¹⁰)/3
c ≈ 14684

Den partikulære løsning er således:

y(t) = 1000/(1+14684·e^-1,25·t)

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Skriv et svar til: logistisk differentialligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.