Matematik

rektangel i trekant

19. april 2005 af aerobec (Slettet)

godaften

følg. punkter er givet for en trekant: A(1,0), B(-1,0) og C(0,1). Heri er der indskrevet et rektangel. To af rekatnglets hjørner ligger på AB og de to andre ligger på hhv. AC og BC. Det hjørne der ligger på AC, betegnes P og har 1.koordinat x.

Nu skal jeg bestemme x så rektanglets arealt er størst muligt og jeg skal bestemme det størst mulige areal.

kan det passe at det bliver Areal=2*(1-x)*|Px| ?

takker

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. april 2005 af Epsilon (Slettet)

Arealfunktionen er

A(x) = 2x*(1-x), x E [0;1]

idet rektanglet tydeligvis har dimensioner 2x (længde) og 1-x (højde). Sidstnævnte indses ved at betragte ensvinklede, ligebenede trekanter.

//Singularity

Svar #2
20. april 2005 af aerobec (Slettet)

hmm funktionen A(x) = 2x*(1-x) forstår jeg desværre ik...
altså (1-x) er halvdelen af rektanglets længde men hvordan får du 2x?

Brugbart svar (0)

Svar #3
20. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#2: Førstekoordinaten til P er x. Rektanglet er imidlertid symmetrisk om OC, hvorved længden af rektanglets ene side er 2x.

1-x er rektanglets højde (afstanden fra P på AC til x-aksen). Betragt den ligebenede trekant afgrænset af AC, x-aksen og den lodrette linie gennem P. Den er tydeligvis ensvinklet med trekant CAO og forstørrelsesfaktoren er netop (1-x)/1 = 1-x, som derved er højden i rektanglet.

Blev det klart nu?

//Singularity

Svar #4
20. april 2005 af aerobec (Slettet)

hmm det med at højden er 1-x forstår jeg stadig ikke...ifølge tegningen kan det ikke passe...

Svar #5
20. april 2005 af aerobec (Slettet)

bare glem #4, jeg har forstået.

Svar #6
20. april 2005 af aerobec (Slettet)

da jeg skal bestemme x, isolerer jeg x i A(x) = 2x*(1-x), dvs. jeg får: x=(-2(+-)rod (4-8A(x)))/-4

passer det?

Brugbart svar (0)

Svar #7
20. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#4: Nuvel, lidt mere detaljeret;

Lad D betegne projektionen af punktet P på x-aksen. Derved har D koordinatsættet (x,0). Eftersom |OA| = 1, har vi |DA| = 1-x.

Trekant ACO er ligebenet og ensvinklet med trekant APD (vinklerne er ensliggende ved parallelle linier). Forstørrelsesfaktoren k er

k = |DA|/|OA| = (1-x)/1 = 1-x

og dermed er

|PD| = k*|OC| = (1-x)*1 = 1-x

Nu skulle der ikke være tvivl derom.

I øvrigt forholder det sig tilfældigvis således, at jeg var til studentereksamen i netop det sæt, hvori nærværende opgave indgår;

Studentereksamen maj-juni 2002,
Matematik 3-årigt A-niveau,
Prøven uden hjælpemidler,
(Opgave 9)

- så jeg har skam et solidt kendskab til opgaven :)

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #8
20. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#5: Udmærket.

#6: Nej, hensigten er, at du skal differentiere arealfunktionen med henblik på at afgøre for hvilken værdi af x, at A maksimeres. Dernæst skal maksimum af A bestemmes.

//Singularity

Svar #9
20. april 2005 af aerobec (Slettet)

kan det passe at x = ½ ?

Brugbart svar (0)

Svar #10
20. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#9: Ja, x = 1/2 maksimerer A. Hvad er da det maksimale areal?

//Singularity

Svar #11
20. april 2005 af aerobec (Slettet)

hmm jeg får A=-2/8 men jeg ved at det ikke passer

Brugbart svar (0)

Svar #12
20. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#11: Ja, det er forkert.

Du skal blot indsætte x = 1/2 i arealfunktionen;

A(1/2) = 2*(1/2)*(1-1/2) = 1/2

Det maksimale areal af det indskrevne rektangel er således 1/2.

I parentes bemærket kunne man også argumentere ved at observere, at

A(x) = 2x(1-x) = -2x^2 + 2x

er et andengradspolynomium hvor koefficienten til x^2 er negativ, dvs. A er konkav, og maksimum antages som bekendt i toppunktet;

T = (-b/(2a),-d/(4a))

hvor

-b/(2a) = (-2)/(2*(-2)) = 1/2
-d/(4a) = -(2^2 - 4*(-2)*0)/(4*(-2)) = 1/2

ergo T = (1/2,1/2), og A(1/2) = 1/2 er derfor det maksimale areal.

//Singularity

Svar #13
20. april 2005 af aerobec (Slettet)

ok tusinde tak!

hvis det er iorden vil jeg gerne lige spørge om opg 8, idet jeg ikke kan forstå: "med F betegnes de stamfunktion til f, der opfylder at F(0) = -2"

Brugbart svar (0)

Svar #14
20. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#13: Hvad er det mere præcist, du ikke forstår derved?

//Singularity

Skriv et svar til: rektangel i trekant

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.