projektion

Brug formlen ( a og b er vektorer)

a * b = |a|*|b|*cos(a,b)    ⇒ |b| * cos(a,b) = (a * b) / |a|

b = (4,2) 

linien y = -½*x -2    kan skrives på vektorform  (x,y) = (0,2) +t*(2,-1)

Vi kan vælge vektoren a = (2,-1), som repræsentant for linien, den er parallel med den givne linie og projektionen på den er det samme som projektionen på den givne linie.

Så har vi hvad vi skal bruge for at beregne projektionen, der jo er lig |b| * cos(a,b)

mange tak for svaret.

jeg har bare lige et par spørgsmål:

hvis du siger b=(4,2) hvad er a, så lig med?

og hvorfor skriver du t nede ved (x,y)=(0,2)+t*(2,-1)?

Det sidste spørgsmål først, man kunne også skrive x = 0 + 2t  og y = 2 - t , når vi lader x gennemløbe alle tal fra

-∞ til ∞ får vi alle punkter på linien.

a er en tilfældig valgt vektor, som er parallel med linien. Jeg har valgt a = (2,-1)

okay.

ja det gik op for mig da jeg læste dit svar et par gange.

men mange tak for hjælpen!!

jeg har faktisk lige et spørgsmål til, kan du ikke prøve at sætte talende ind i den formel du har oplyst? (:

a*b = (2,-1)*(4,2) = 8 - 2 = 6

| a | = √(2²+1²) =√5               | b | =√(4²+2²) = √20 = 2*√5

|b|*cos(a,b) = 6 / √5 = 2,68

og det vil sige vores projektion = 2,68?

hov jeg forstår ikke hvor du kan få l til at blive y=- ½x-2

Hvis du i et koordinatsystem tegner vektor b (fra (0,0) til (4,2) og en linie fra (0,0) gennem (2,-1) og derefter tegner en linie fra (4,2) vinkelret på linien, vil du kunne måle projektionen som afstanden fra (0,0) til skæringen mellem linien og den vinkelrette.

Ups! Jeg har lavet en fortegnsfejl, men det får ingen betydning for resultatet,

 da y = -½x - 2 er parallel med y = -½x + 2

Projektionen af vektor v på linien l er vektoren

v_a = (v•a/|a|) a/|a|

hvor vektoren a er en retningsvektor for linien l . Her er a = (2 ; -1) og v = (4 ; 2) , så

|a| = √5 og v•a = 6 , og dermed

v_a = (6/5)·(2 ; -1) = (12/5 ; -6/5)

Som hr. Andersen diskret påpeger, så er det vi har fundet, nemlig lænden af projektionen på linien, ikke det der bliver spurgt om.

Men for at gøre det, jeg er begyndt på færdigt.
Hvis vi skal give svaret som en vektor (og det ser vi skal, når jeg når jeg nærlæser opgaven), skal vi normere vektor a og gange med længden 6/√5 som vi har fundet.
Vi normerer a = (2, -1) ved at dividere hver af koordinaterne med længden af |a| som vi allerede har fundet.
a_norm= (2/√5, -1/√5)
Så v_proj( som vektor) = 6/√5*a_norm =  (6/√5)*(2/√5, -1/√5) = (12/5, -6/5)