Finde løsning til lineær differentialligning af 1. orden

Det er ikke rigtigt at det er nok at vise det for et konkret eksempel. Det korrekte er at gøre prøve. Find y'(x) og sætte dette samt y ind i ligningens venstre side. Hvis dette giver b(t) har du bevist at det er løsningen.

Se f.eks. her http://mathworld.wolfram.com/First-OrderOrdinaryDifferentialEquation.html

Her er et beskedent bidrag.

I dit beskedne bidrag (Tak):

Jeg når til   (y·u)' = g(x) · u  , men jeg har derfra lidt svært ved at følge fremgangmåden.

Umiddelbart synes jeg at man skal integrere på begge sider af lighedstegnet, men burde det så ikke blive:

u · y + c = ∫g(x) · u dx

i stedet for:

u · y = ∫g(x) · u dx + c

Og så forstår jeg ikke helt hvordan man så finder u(x).

Det er uden betydning på hvilken side du adderer konstanten.

Der er en trykfejl i 6. linie. Der skal naturligvis stå:  u' = f(x) * u (ikke y)

Så finder du u(x) ved at integrere u'  = f(x) * u   ⇒ du / dx = f(x) * u  ⇒ du / u = f(x) * dx  ⇒  ln(u) = ∫ f(x) dx

hvor f(x) er kendt fra differentialligningen

  se evt
  peecee.dk/upload/view/277269
 

Tak for hjælpen.

Jeg har dog lige et lidt andet spørgsmål i samme retning:

Det er angående hvornår en løsning til en differentialligning er partikulær og hvornår den er fuldstændig.

Hvis man finder en løsning til en differentialligning, hvor f.eks. konstanten er ukendt (skæring med y-aksen), har man bestemt den fuldstændige løsning, idet man har opstillet et udtryk for de uendeligt mange funktioner, der er løsning. (når konstanten er ukendt)

Hvis man derimod finder en løsning til samme differentialligning og samtidig får angivet et punkt på løsningskurven, er det så en partikulær eller fuldstændig løsning man har fundet?

Fx:

Differentialligningen:

f ' (x) = 3/x

f(x) =3 ln(x) + k       (fuldstændig løsning)

f(x) = 3 ln(x) + 5      (partikulær løsning)

Det oplyses nu at f(x) går gennem punktet (e,5). Dermed er løsningen:

f (x) = 3 ln(x) + 2

Er dette en partikulær eller fuldstændig løsning?

På forhånd tak.

Det er en fuldstændig løsning, når integrationskonstant er angivet men ikke ikke kendes. Det er en partikulær løsning hvis den kendes eller den ikke er angivet( svarer til at den er 0)

Den sidste er en partikulær løsning da konstanten kendes. Den er 2.

#8

Tak, det var lige det jeg ledte efter.

Fok herinde svarer ret hurtigt, så jeg stiller lige et andet spørgsmål:

Når man skal løse en specifik lineær differentialligning, skal man indsætte a(x) og b(x) i dens løsningsformel:

y(x) = e^-A(x) ∫b(x)e^A(x) dx + ce^-A(x)

Her skal man beregne stamfunktionen til a(x), men man medtager ikke konstanten.

Hvorfor ikke?

Skal det forklares i en opgave eller kan det bare gøres uden videre?

#10

Fordi A(x) er en stamfunktion til a(x) . En ekstra additiv konstant k i A(x) forsvinder jo i det første led i løsningsformlen, og det vil indgå i den allerede arbitrære constant c, der er faktor på det andet led i løsningsformlen.

#11

Det kan godt være, at du bliver nød til at uddybe det lidt.

Du skriver "Fordi A(x) er en stamfunktion til a(x)", men følgende regel gælder vel alligevel:

∫f(x) dx = F(x) + c ,

hvor F(x) er en stamfunktion til f(x).

Kan man sige, at konstanten ikke skal medtages, fordi der i formlen står F(x) og ikke ∫f(x) eller F(x)+c ?

Vil det sige, at når man snakker om en stamfunktion (eller bare F(x) ), så er konstanten aldrig med i den betegnelse?

#12

Som jeg skrev, er A(x) en stamfunktion (uden tryk på en), og jeg forklarede, hvorfor der ikke er nogen grund til at slæbe rundt med en integrationskonstant k i A(x), da den er uden betydning i det første led i løsningsformlen, og den bliver bygget ind i konstanten c i det andet led i løsningsformlen.

I løsningsformlen skal man blot bruge en funktion A(x), der er en stamfunktion fil a(x).