Vektorfunktioner

Hvis det skal være banekurven, så er det en ommer !!!!!!!!!

#1

Klodsens banekurve er

r(t) = (x(t) , y(t)) = (25cm/s)·(cos(22º)·t , sin(22º)·t) + 19cm·(cos((π/2)-(2π/s)·t) , sin((π/2)-(2π/s)·t))

                           = (25cm/s)·(cos(22º)·t , sin(22º)·t) + 19cm·(sin((2π/s)·t) , cos((2π/s)·t)) , t ∈ [0s , 3s]

                           = v₀·t·(cos(22º) , sin(22º)) + R·(sin(ωt) , cos(ωt)) , t ∈ [0s , 3s] ,

med v₀ = 25cm/s , R = 19cm, og ω = 2π/s , så udtrykket i #0 er for så vidt fint nok.

Hastigheden er

v(t) = v₀·(cos(22º) , sin(22º)) + Rω·(cos(ωt) , -sin(ωt)) , hvorfor farten er bestemt af

v(t)² = |v(t)|² = (v₀·cos(22º) + Rω·cos(ωt))² + (v₀·sin(22º) -Rω·sin(ωt))²

          = v₀² + R^2_·ω² +2v₀·R·ω·cos(22º+ωt) ,

hvis største værdi (v₀ + R·ω)² opnås, når cos(22º+ωt) = 1, hvor da

v_max = v₀ + R·ω = 144,38cm/s

og hvis mindste værdi (v₀ - R·ω)² opnås , når cos(22º+ωt) = -1, hvor da

v_min = |v₀ - R·ω| = 94,38cm/s

Accelerationen er

a(t) = -R·ω²·(sin(ωt) , cos(ωt)) , så størrelsen af accelerationen er konstant, nemlig

|a(t)| = R·ω² = 750,09cm/s²

Hvis vi må bytte om på sin og cos uden det bliver markeret med røde streger, så kan jeg også akceptere udtrykket for banekurven.

Jeg læser 1 / s som pr. sek og derfor t ∈ [0 , 3], i modsat fald får vi problemer med dimensionerne, når vi ganger t med en hastighed.

Se vedlagte fil

Jo, jeg ved godt hvordan man vedhæfter en fil, men serveren gik ned -  her skulle den så gerne være.

Det ville have været mere korrekt at skrive ω = 2•π / T , hvor T = 1 sec

#3

Tiden t skal da her måles i en tidsenhed, f.eks. sekund, forkortet s, så at ω·t er dimensionsløst, hvorfor t ∈ [0s , 3s] som angivet ovenfor. Det er da fuldt korrekt at skrive ω = 2π/s, der jo netop har enheden invers tid.

Det er med vilje, at sin() ender på x-pladsen og cos() på y-pladsen. Ser man på figuren vedlagt i #0, starter klodsen til tiden t=0 ved "klokken 12" og bevæger sig med uret, dvs modsat den sædvanlige omdrejningsretning for positive vinkler, og derfor ser vektorfunktionen således ud, jvf. #2:

(x(t) , y(t)) = v₀·t·(cos(22º) , sin(22º)) + R·(cos((π/2)-ω·t) , sin((π/2)-ω·t)) ,

hvilket jo også er helt konsistent med indlægget i #4.

Men her er der der blot benyttet, at  cos((π/2) - φ) = sin(φ) , og sin((π/2) - φ) = cos(φ) , hvorfor det kommer til at se ud, som om der er byttet om på sin og cos. 

Så der er ingen grund til at fare frem med den røde markering.

Jeg har lidt svært ved at se, hvorfor du har skrevet:

r(t) = (x(t) , y(t)) = (25cm/s)·(cos(22º)·t , sin(22º)·t) + 19cm·(cos((π/2)-(2π/s)·t) , sin((π/2)-(2π/s)·t))

skal den så skrive på den måde:

(25cm/s)·(cos(22º)·t over sin(22º)·t) + 19cm·(cos((π/2)-(2π/s)·t)   men hvad med det sidste? Ved godt det er et dumt spørgsmål :s

#7

Det er skrevet på vektorform

r(t) = (x(t) , y(t)) . Man kunne så skrive

x(t) = (25cm/s)·cos(22º)·t + 19cm·cos((π/2)-(2π/s)·t) ,

y(t) = (25cm/s)·sin(22º)·t + 19cm·sin((π/2)-(2π/s)·t) ,

eller mere kortfattet

x(t) = v₀·t·cos(22º) + R·sin(ωt) ,

y(t) = v₀·t·sin(22º) + R·cos(ωt)

Er gået i stå i b'eren :s

#1

Hvilken værdi har s?

#10

s er forkortelsen for enheden sekund.

okay (: men det er bare fordi, når jeg vil have Mathcad til at løse:

v(t)2 = |v(t)|2 = (v0·cos(22º) + Rω·cos(ωt))2 + (v0·sin(22º) -Rω·sin(ωt))2

= v02 + R2·ω2 +2v0·R·ω·cos(22º+ωt) ,

hvis største værdi (v0 + R·ω)2 opnås, når cos(22º+ωt) = 1, hvor da

vmax = v0 + R·ω = 144,38cm/s

Men det kan jeg ikke

#12

Hvad er det, du ikke kan?

Hvordan får du 144,38cm/s?

hvis største værdi (v0 + R·ω)2 opnås, når cos(22º+ωt) = 1, hvor da

vmax = v0 + R·ω = 144,38cm/s

Det er trinet i mellem her, jeg ikke kan forstå :s

#15

v_max = v₀ + R·ω = 25cm/s + 19cm·2π/s = 144,38cm/s

Og lige det sidste..

Hvilke værdier bruger du, for at finde størrelsen af accelerationen?

#18

Accelerationen er den tidsafledede af hastighedsvektoren, og det ses (se #2), at accelerationen er en ren cirkelbevægelse, så dens størrelse er radiusfaktoren R·ω² = 19cm·(2π/s)² = 750,09cm/s² .