Optimale konstruktioner

Vi vil se på en dobbeltboble med samme rumfang i de to kamre; væggen mellem kamrene er så en cirkelskive.

Med betegnelser som på figuren sættes r = | AB | og h = | CD |.

For en afskåret kugle med radius r og højde h gælder følgende formler for rumfanget V og den krumme overflade O:

og

Vi vil nu holde rumfanget i de to kamre fast, men minimere den samlede overflade i dobbeltboblen ved at ændre på r og h.

Den samlede overflade, der består af de to krumme overflader og cirkelskivens areal, vil være en funktion af h, som betegnes f(h).

1. Opstil en forskrift for f.

2. Find ved differentiation et udtryk for sammenhængen mellem h og V, når f(h) er mindst mulig.

3. Vis at h = 1,5 · r, når f(h) er mindst mulig.

4. Vis at den stumpe vinkel mellem tangentplanerne i B til de to kugler er 120 grader, når den samlede overflade er mindst mulig.