Matematik
Ledvis integration
Hvis jeg vil argumentere for, at jeg kan integrere en uendelig sum (givet ved f : C -> C, hvor C er de komplekse tals legeme, der er lig summen af en potensrække, hvis konvergensradius jeg har bestemt) ledvist, er det så okay at argumentere med, at konvergensradius for potensrækken er indeholdt i domænet for f?
Håber du/I kan overskue min lange parantes og den deraf kringlede formulering ...
Svar #1
26. april 2005 af 404error (Slettet)
Svar #3
26. april 2005 af Export (Slettet)
R_f \\in dom(f)
(hvor "dom" ikke er skrevet med kursiv), for jeg har nemlig ikke lige set en matematisk forkortelse for "domæne" før (eller hvis jeg har, så kan jeg i hvert fald ikke huske det).
Svar #5
26. april 2005 af 404error (Slettet)
I øvrigt giver det ikke mening at tale om, at 'konvergensradius er indeholdt i definitionsmængden'. Mon ikke du mener konvergenscirklen? Det må også være svar nok til #3 - notationen dom(f) kan godt bruge.
Svar #6
26. april 2005 af Export (Slettet)
Mht. til #1, hvordan argumenterer jeg så for, at da definitionsmængden for funktionen er indeholdt i konvergenscirklen, så kan jeg bruge ledvis integration.
Svar #7
26. april 2005 af 404error (Slettet)
Svar #8
26. april 2005 af Export (Slettet)
Svar #9
26. april 2005 af 404error (Slettet)
Svar #10
26. april 2005 af Export (Slettet)
x^2e^x + 3xe^x + e^x = xe^x + (x+1)^2e^x
og så bruge svarene fra de tidligere spørgsmål, men jeg kan ikke helt gennemskue hvordan.
Svar #11
26. april 2005 af 404error (Slettet)
f: R -> C
og ikke en kompleks funktion, som du oprindeligt fortalte. Det letter også tingene en hel del, for ellers forudsætter opgaven kendskab til grundlæggende kompleks analyse.
Per definition konvergerer rækken absolut på konvergensintervallet (ikke konvergenscirkel denne gang!), dvs. følgen af afsnitssummer er ligeligt konvergent her. Så findes der en sætning, som siger, at såfremt f_1,f_2,... er en følge af Riemann-integrable funktioner defineret på [a,b], som konvergerer ligeligt mod en grænsefunktion f, så er
lim int_a^x f_n(t)dt=int_a^x lim f_n(t)dt
hvilket giver det ønskede (overvej).
Ovenstående er formentlig en velkendt sætning, men hvis ikke, kan den let vises. Benyt at en funktion er Riemann-integrabel på [a,b], netop hvis der for ethvert epsilon>0 eksisterer en inddeling af [a,b], så differensen mellem over- og undersum hørende til f er mindre end epsilon for enhver finere inddeling.
Svar #12
26. april 2005 af Export (Slettet)
Svar #13
26. april 2005 af 404error (Slettet)
f_n(x)=sum_{i=0}^n a_n*x^n.
Brug nu det med sætningen i #11.
Svar #14
26. april 2005 af Export (Slettet)
Gider du eventuelt at skrive det op for mig, så jeg kan se hvordan en pro. gør det, for ved ikke rigtig hvordan jeg skal bære mig ad?
Svar #16
26. april 2005 af 404error (Slettet)
f_n(x) = sum_{i=0}^n a_n*x^n, n>=0
konvergerer ligeligt i hele konvergenscirklen mod en grænsefunktion, som vi betegner f. For en ligeligt konvergent følge kan man ombytte integrationsorden og grænseværdi som beskrevet i #11. Der gælder altså, at
lim int_0^x f_n(t)dt = int_0^x f(t)dt.
Venstresiden i ovenstående er præcis, hvad man forstår ved 'ledvis integration'. Er du med?
Efter at have set opgaven vil jeg lige advare dig mod et uheldigt ordvalg; du siger, at definitionsmængden for funktionen er indeholdt i konvergenscirklen. Sådan vil man almindeligvis ikke se på det. Snarere har du vist, at konvergensradius er uendelig, og *derfor* bestemmer potensrækken en funktion for ethvert z. Dvs. man fastlægger definitionsmængden for funktionen ud fra konvergenscirklen - den er ikke som sådan givet på forhånd.
Svar #17
26. april 2005 af 404error (Slettet)
f_n(x) = sum_{i=0}^n a_i*x^i, n>=0
i både #13 og #16.
Svar #18
26. april 2005 af Export (Slettet)
Svar #19
27. april 2005 af Export (Slettet)
http://www.math.aau.dk/~jjohnsen/Teaching/Notes/riemann.pdf
eller er jeg forkert på den? Jeg kender nemlig ikke lige umiddelbart sætningen i #11, og jeg vil gerne have noget at henvise til i miin besvarelse.
Besvarelse af Spørgsmål (b):
I konvergenscirklen er potensrækken pr. definition absolut konvergent. Det vil sige, at afsnitssummerne
f_n(x) = \\sum_{i=0}^n \\frac{(i+1)^2}{i!} x^i, n\\geq0
konvergerer uniformt i hele konvergenscirklen mod grænsefunktionen f. For en uniformt konvergent følge kan man ombytte integrationsorden og grænseværdi (her mangler jeg en reference!), altså
\\lim_{n \\to \\infty} \\int_0^x f_n(t) dt
= \\int_0^x f(t) dt.
Jeg har så nu, at
\\int f(t) dt
= \\int \\sum_{n=0}^\\infty \\frac{(n+1)^2}{n!} t^n dt
= \\sum_{n=0}^\\infty \\frac{(n+1)^2}{n!} \\int t^n dt
= t \\sum_{n=0}^\\infty \\frac{n+1}{n!} t^n,
hvor jeg bruger den ledvise integration ved 2. lighedstegn.
Videre giver Sætning 8.18 i Ebbe Thue Poulsens bog mig, at
\\int_0^x f(t) dt
= x \\sum_{n=0}^\\infty \\frac{n+1}{n!} x^n - 0 \\sum_{n=0}^\\infty \\frac{n+1}{n!} 0^n
= x \\sum_{n=0}^\\infty \\frac{n+1}{n!} x^n,
for ethvert reelt x.
Svar #20
27. april 2005 af Export (Slettet)