Lineære ligningssystemer.

Hvis du tænker på en matrix

Glem den ovenstående post. Det du siger at hvis ligningssystem Ax = 0 kun har den trivielle løsning, så vil antal søjler i trappematrixen svare til antal skridt der tager at bringe den oprindelig m x n matrix på reduceret echelon form.

Det er det du gerne vil vise? ik?

Hvis d < n vil søjlerne i matricen være lineært afhængig vektorer. Du vil så altid kunne finde linearkombinationer af søjlerne hvor ikke alle koefficienter er 0. Disse koefficieneter vil udgøre en løsning forskellig fra 0 til ligningssystemet.

Okay mange tak :) Er med på det meste, men hvorfra kan man sige/ved man, at der vil være lineært afhængige vektorer i matricen?

Nu har jeg den.....

Jeg er ikke helt sikker på hvad den oprindelig poster mener men det er muligvis det her:

Du har en vilkårlig m x n matrix kaldet A,.  med det tilhærende homogene ligningssystem A*x = 0

Den består af n-vektorer. Hvor m > n og har kun den trivielle løsning. Havde n > m, så havde der været en ikke-triviel løsning. 

vektorerne i A er en base for vektor-rummet V. Dvs. de opfylder betingelserne for at vektorerne er en base for V.

1) v_1,..........v_n er lineært udafhænge. 2) v_1 til v_n udspænder V.

Du rækkereducerer så maticen til en m x d matrix, der har vektorerne i den række-reducerede matrix (u_1, ......,u_d). Den reducerede matrix  er række-equivalent med oprindelige matrix. Derfor må det kunne antages, at (u_1, ......,u_d) også er en basis for V. Dermed pr. definition så gælder det at n = d.

Hvad siger I til det?

Frederik

Hvis de kan opskrives som en linear kombination af hinanden, så er de afhængige!

Okay. har reflekteret lidt over det.

Lin. uafhængige vektorer/søjler er lidt det samme som at sige det er en regulær matrix. Hvilket betyder d=m=n (sådan er det hvis der skal være en løsning/bijektiv - ses ved overvejelse). Hvis n<d er det derfor en matrix med lin. afhængige vektorer.

Sagt med andre ord: hvis vektorerne i A skal være lin. uafhængig, så skal d=n
Men da n<d er de lin. afhængig.
men m kan godt være mindre end d, da der så er tale om 0

hvor der jo stadig vil være en løsning til.

Gav det mening? :) Jeg synes godt nok det kræver mange tanker.

Hov, så ikke der var kommet post. Kigger lidt på det :) Men tak.

Lige en uddybning.

Den første søjle i matricen angiver en vektor a₁ med d koordinater. Det er altså en vektor i et d-dimensionalt vektorrum

Den næste søjle i matricen angiver på tilsvarende måde en vektor a₂ i et d-dimensionalt vektorrum. Dette kan fortsættes så man har ialt n d-dimensionale vektorer a₁, a₂, ... a_n Da der findes flere vektorer end dimensionen af vektorerne må de være lineært afhængig. I et d-dimensionalt vektorrum kan man jo højst have d lineært uafhængige vektorer. Mindst en af vektorerne kan så skrives som en linearkombination af de andre. Lad a₁ være sådan en vektor. Den kan så skrives a₁=-x₂*a₂-x₃*a₃ - ... x_n*a_n <=> a₁+x₂*a₂+x₃*a₃ + ... x_n*a_n  = 0. Sættes x₁ = 1 har vi x₁*a₁+x₂*a₂+x₃*a₃ + ... x_n*a_n  =0

x₁, x₂, ...x_n vil så være en løsning til ligningssystemet hvor mindst en af x'erne nemlig x₁ ikke er 0

Så blev man det klogere, mange tak. :D