vis at f(x) er uendelig mange gange differentiabel

Det med induktion lyder særdeles fornuftig. Du skal vise at  funktionerne er differentiable ikke blot kontinuerte.

et eksempel med f(x) = sin(t)

er det nok med at sige at sinus er en bølgefunktion derfor er den differentiabel og når man er differentiabel i alle punkter så er man også kontinuert i de punkter

også at antage at det gælder for k=t og vise at det gælder for k=t+1

altså sin(t+1) = additionsformlen for sinus hvor cos og sin indgår, også er det samme argumentation som i det forgående?

I dette tilfælde vil jeg finde f'(x) og f''(x) og konstatere at jeg er tilbage til begyndelsen bortset fra fortegn. Du har dermed bevist at f(x) er 2 gange differentiabel og dermed også differentiabel. Induktionen består så i at så må f''(x) også være 2 gange differentiabel. o.s.v.

så kan man jo ikke gøre meget mere der, eller måske vise at f(x)=f²ⁿ(x)? 

Ja. Det er også en mulighed

hvis nu jeg har ln(x) som jeg skal diff n+1 gange, skal jeg så bare smide n+1 ind på x's plads og diff ln(n+1) 1 gang? 

altså jeg har en funktion ln(tan(x/2)) så skal jeg vise at den har i hvert punkt  uendelig mange afledede som er kontinuerte. 

skal jeg så smide n+1 ind på x's plads og differencere 1 gang?

#6 Brug at den afledede af ln(x) er 1/x. Brug dernæst induktion (x^-n)' = -x^-(n+1)/(n+1)

jamen er princippet det at smide n+1 ind på x's plads on diff 1 gang? 

Jeg kan ikke rigtige se nogen mening med at erstatte x med n og derefter differentiere.

nej men så forstår jeg ikke meningen med at bruge induktion og vise af fⁿ⁺¹ eksistere osv osv.. 

Induktion betyder at du skal vise at den oprindelige funktion og evt. nogen af de følgende aflede eksisterer. I praktisk gætter du derefter på en formel for f⁽ⁿ⁾, som stemmer med de(n) første. Du viser derefter at f⁽ⁿ⁾ er differentiabel og den afledede funktion er f⁽ⁿ⁺¹⁾. Dermed har du så vist at funktionen er vilkårlig differentiabel og den n'te afledede er f⁽ⁿ⁾

åhh det lyder indviklet, hvordan kan man så løse det med at vise at ln(tan(x/2)) har uendelig mange afledede?

Find den første aflede. Den bliver cot(x)+tan(x). Dermed reduceres det til at vise at cot(x) og tan(x) er vilkårlig differentiabel. Fortsatte differentiationer vil give potenser af cot(x) og tan(x) som er differentiable.