Omskrivning fra polær form til kartesisk form

Mener du r = 1 + cos(θ) ? Det er ligningen for en kurve i planen i polære koordinater, hvor θ er brugt som parameter.

Sætter man x = r·cos(θ) og y = r·sin(θ), får man ved at multiplicere med r:

r² = r + r·cos(θ) , dvs

x² + y² = r + x , eller

(x² + y² -x)² = x² + y²

Hvis ligningen er

r = 1 + r·cos(θ) fås

x² + y² = (1+x)² , eller

y² = 1 + 2x , eller x = (1/2)y² - 1/2

#1

Undskyld, tastefejl. Den sidste ligning er korrekt. Den første skulle være: r = 1 + 2r cos (θ)

r = 1 + 2rcos(θ) har facit: y² - 3x² - 4x - 1 = 0

r = 1 - cos(θ) har facit: x⁴ + y⁴ + 2x²y² + 2x³ +2xy² - y² = 0

Det er bare mellemregningen jeg var interesseret i :-)

#2

Aha,

r = 1 + 2r·cos(θ) giver

x² + y² = (1 + 2x)² , eller

-3x² -4x +y² = 1 , eller

y² -3(x + 2/3)² = 1 - 4/3 = -1/3 , eller

9·(x + 2/3)² -3y² = 1 , som er en hyperbel

-------

r = 1 - cos(θ) , giver

x² + y² = r - x , eller

(x² + y²)² + x² + 2x(x²+y²) = x² + y² , eller

y² = (x² + y²)(x + y)²

#3

Hvordan kommer du fra:

r = 1 - cos(θ) til x² + y² = r - x?

#4

Ved at gange ligningen med r:

r² = r - r·cos(θ) , dvs

x² + y² = r - x

Hvordan kommer du så frem til udtrykket: (x² + y²)² + x² + 2x(x²+y²) = x² + y²

#6

Ved at flytte x over på venstre side og kvadrere på hver side

(x² + y² + x)² = r² = x² + y²

#7

Så laver du indirekte treleddet størrelse om til toleddet størrelse ved at betragte ligningen følgende:

((x²+y²)+x)²

Er det ikke rigtigt?

#8

F. eks. sådan (a+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac +2bc , men som du ser regnede jeg det som kvadratet på en toledddet størrelse, hvor det ene led selv er en toleddet størrelse:

(x²+y²)² + x² + 2x(x²+y²) = x² + y²

#9

Ja, det bemærkede jeg også. Vidste ikke om det var tilladt at kigge på den sådan.

Den første ligning:

r = 1 + 2r·cos(θ)

Du ganger med r på begge sider, så du får:

r² = r + 2r²·cos(θ) som giver

x² + y² = r + 2rx

Kan det ikke passe?

#10

Nej, jeg kvadrerede ligningen

r² = (1 + 2r·cos(θ))² , dvs

x² + y² = (1 + 2x)² .

som jeg skrev i #3.

#11

Tak for det. Så var det vidst ikke flere spørgsmål for denne gang. :-)