Matematik
Eksamensopgave, 2003-8-7
11. maj 2005 af
zIOn (Slettet)
Den relevante opgave er opgave 4 i følgende sæt,
http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/eksamen/opgaver/sommer03/2003-8-7-MED.pdf ,
og mit problem er at bestemme V som funktion af t.
Eller rettere, at vælge den rigtige metode til at løse differentialligningen
dV
-- = -0.1*V^(2/3)
dt
På forhånd tak,
Frederik.
http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/eksamen/opgaver/sommer03/2003-8-7-MED.pdf ,
og mit problem er at bestemme V som funktion af t.
Eller rettere, at vælge den rigtige metode til at løse differentialligningen
dV
-- = -0.1*V^(2/3)
dt
På forhånd tak,
Frederik.
Vi kan fiksere kurven vha
oplysningen
V(10)=64
V(t) = -1/27000*t^3+13/900*y^2-169/90*t+2197/27
Duffy
oplysningen
V(10)=64
V(t) = -1/27000*t^3+13/900*y^2-169/90*t+2197/27
Duffy
Svar #4
12. maj 2005 af Epsilon (Slettet)
Differentialligningen
dV/dt = -0.1*V^(2/3), V > 0
er et produkt af funktioner af én variabel;
dV/dt = f(t)*g(V)
med f(t) = -0.1 og g(V) = V^(2/3), og er dermed separabel. For V > 0 kan vi anvende separation af variable;
V^(-2/3)dV = -0.1dt
og partiel integration giver
int[V^(-2/3)dV] = int[-0.1dt]
3V^(1/3) = k - 0.1t <=>
V^(1/3) = C - 1/30*t
hvor C = k/3, k E R, er en arbitrær integrationskonstant. Til tidspunktet t = 10 haves V = 64, hvilket entydigt fastlægger
C = 64^(1/3) + 1/30*10 = 4 + 1/3 = 13/3
En forskrift for V er dermed
V(t) = (13/3 - 1/30*t)^3, 0 =
Lad T være det tidspunkt, til hvilket beholderen er tom; V(T) = 0. Idet volumenfunktionen V er kontinuert, indser vi, at
lim V(t) = V(T) = 0 <=>
t->T
lim[13/3 - 1/30*t] = 0
t->T
hvoraf
T = (13/3)/(1/30) = 130
Heraf sluttes, at beholderen er tom efter 130 minutter, ifølge differentialligningsmodellen.
//Singularity
dV/dt = -0.1*V^(2/3), V > 0
er et produkt af funktioner af én variabel;
dV/dt = f(t)*g(V)
med f(t) = -0.1 og g(V) = V^(2/3), og er dermed separabel. For V > 0 kan vi anvende separation af variable;
V^(-2/3)dV = -0.1dt
og partiel integration giver
int[V^(-2/3)dV] = int[-0.1dt]
3V^(1/3) = k - 0.1t <=>
V^(1/3) = C - 1/30*t
hvor C = k/3, k E R, er en arbitrær integrationskonstant. Til tidspunktet t = 10 haves V = 64, hvilket entydigt fastlægger
C = 64^(1/3) + 1/30*10 = 4 + 1/3 = 13/3
En forskrift for V er dermed
V(t) = (13/3 - 1/30*t)^3, 0 =
Lad T være det tidspunkt, til hvilket beholderen er tom; V(T) = 0. Idet volumenfunktionen V er kontinuert, indser vi, at
lim V(t) = V(T) = 0 <=>
t->T
lim[13/3 - 1/30*t] = 0
t->T
hvoraf
T = (13/3)/(1/30) = 130
Heraf sluttes, at beholderen er tom efter 130 minutter, ifølge differentialligningsmodellen.
//Singularity
Skriv et svar til: Eksamensopgave, 2003-8-7
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.