Side 2 - Taylor

Første og sidste er rigtig. Den anden: Du kan godt bruge produktreglen; men det er nemmere at bruge hvad der gælder (k*f'(x))' = k*f(x) når k er en konstant. Du får så idet 2a₂ er en konstant (2a₂(x-x0))' = 2a₂(x-x0)' = 2a₂*1 = 2_a2

Det bruger du nu til at finde p3''(x) = (p₃'(x))' = (a₁ + 2 * a₂ (x-x₀) + 3 * a₃ (x-x₀)²)'

Okay, det forstår jeg godt nu. Men mener du ikke, at jeg skal finde p3´´´(x), da jeg lige har fundet p3´´(x)?

p3(x0) = a

p3(x)´ = a₁ + 2a₂(x-x₀) + 3a₃(x-x₀)²

p3(x0)´= a₁

p3(x)´´ = 2a₂ + 6a₃(x-x₀)

p3(x0)´´ = 2a₂

p3(x)´´´ = 6a₃

Er det rigtigt indtil videre?

Ja. Du har blot glemt et indeks på det første a. Så skal du i gang med at opstille ligningerne.

Ja, der skulle stå a₀

Men bliver p₃´´´(x₀) = 6a₃ ?

Hvordan stiller jeg så de ligninger op?

Ja dine besvarelser i #22 var rigtig. Ligningerne bliver

p₃(x₀) = a₀ = f(x₀)

p₃'(x₀) = a₁ = f'(x₀)  o.s.v.

Så får jeg

a0 =p3 π/3

a1 = p3´π/3

a2 = (p3´´π/3) / 2

a3 = (p3´´π´/3) / 6

Er det rigtigt?

Det ser lidt mærkeligt ud, det du skriver. Jeg tror ikke at det er meningen, at du skal sætte noget med p3 ind på højre side. Du skal holde dig til funktionen f(x)

Okay, jeg ved ikke helt, hvor meget du har forstand på Mathcad, men når jeg så skriver:

Given

f(x₀) = a₀

f´(x₀) = a₁

f´´(x₀) = 2a₂

f´´´(x₀) = 6a₃

Find(a₀,a₁,a₂,a₃) --> a₀ = 1/2, a₁ = -√(3) /2, a₂ = -1/4 og a₃ = (f´´´(π/3)) / 6

Jeg forstår ikke helt a₃

Ser det ellers rigtigt ud?

Du gør det mere indviklet end det er. Når du løser ligningerne får du:

a₀= f(x₀) = f(x₀)/0!

a₁ = f'(x₀) = f'(x0)/1!

a₂ = f''(x₀)/2 = f''(x₀) /2!

a₃ = f'''(x₀)  = f'''(x₀)/3!

f(x₀) = a₀/ 0

f´(x₀) = a₁/1

f´´(x₀) = 2a₂ / 2

f´´´(x₀) = 6a₃ / 3*2

Man kan bare ik dividere med 0 :/

Der står ikke 0; men 0! = 1. Derimod deler du med 0 i den første ligning. f''(x₀) ≠ a₂. f'''(x₀) ≠ a₃

Ifølge det du skrev i #0 skulle du finde a'erne udtrykt ved  f(x) og de afledede. Det er det der gjort i #29. . Hvis du sætter resultatet ind i polynomiets definition får du de første 4 led i Taylorrækken. Det var formentlig det opgavestilleren ville have frem.

Okay, så fik jeg rettet 0 til 1 i den første, hvor jeg har de fire ligninger med de fire ubekendte. Jeg får deraf at:

a0 = 1/2, a1 = -√(3) / 2, a2 = -1/2 og a3 = f´´´(π/3)

Forstår stadig ikke, hvordan a3 :/

Hvad forstår du ikke ved a₃ ?. Jeg har en forglemmelse i #29. i den sidste linje. Der skulle stå a₃ = f'''(x0)/6 = f'''(x0)/3!. Er det en fejl, der forvirrer dig?

Efter som jeg ikke kender f(x) eller x₀, kan jeg ikke kommentere dine tal. Jeg mener at kunne huske at du har haft den kørende med at finde Taylor polynomiet for en konkret funktion, Hvis dette er den samme, du bruger nu, kan du bare bruge resultaterne derfra

Så har jeg gjort det rigtigt. Det der forvirrede mig, er at værdien af a3, adskiller sig fra de øvrige, da a3 bliver f´´´(π/3)

Men det er rigtigt, at de fire ligninger med de fire ubekendte er:

f(x0) = a0/ 1

f´(x0) = a1/1

f´´(x0) = 2a2 / 2

f´´´(x0) = 6a3 / 3*2

nej. se #29

Bortset fra forglemmelsen i den sidste linje, som nævnt i #33 er det den rigtige løsning. Der er i høj grad systematik i resultaterne i #29 også med a₃, så a₃ adskiller sig ikke på nogen måde.