Følge der konvergerer

Grænseværdien for (1+x/n)ⁿ er e^x .

Min funktion hedder L(n)=100*(1+0.1/n)^n  . Først har jeg fundet grænseværdien for L(n) når n går mod uendelig. Dette bliver 110.

Hvad mener du med Grænseværdien for (1+x/n)n er e^x .?

#3

Jeg mente, at (1 + x/n)n → ex for n → ∞ . Din funktion L(n) har grænseværdien 100·e^0.1 for n → ∞ .

100·e^0.1 = 110.517 (3 dec).

Okay, men hvordan kan jeg argumentere for at den konvergere? er det nok at sige at den konvergere da vi har en grænseværdi, og at den derved konvergere mod denne grænseværdi. - Grunden til den ikke divergere er jo netop fordi der er en grænseværdi. Korrekt?

#5

Du skal vise, at den er konvergent. Vis, at talfølgen {L(n)} er stigende og begrænset.

Jamen, er det korrekt at den er begrænset af grænseværdien ? jeg kan se at den er stigende ved at kigge på grafen jo.

#7

Nej, det argument kan man ikke bruge, før man har vist, at den er konvergent og stigende. Jeg fortalte dig blot før, hvad den korrekte grænseværdi er. Men du skal først vise, at følgen er konvergent, og det kan gøres ved at vise, at den er stigende og begrænset.

Det er jeg godt klar over - Man kan ikke lige se hvordan jeg skal vise den er stigende og begrænset? - Den er stigende fordi at når n går mod uendelig går L(n) mod 110,5 og derved er den jo monoton stigende.  

#9

Nej, du skal vise, at L(n+1) - L(n) > 0 for alle n (fra et vist trin), og at der findes et positivt tal M, så at |L(n)| ≤ M for ethvert n .

#9

Med L_n(x) = (1 + x/n)ⁿ , har vi, for x > 0, at L_n(x) > 1 for alle n > 0 . Vi har nu

L_n+1(x) / L_n(x) = (1 + x/(n+1))ⁿ⁺¹ / (1 + x/n)ⁿ = (1 + x/(n+1)) · [ (n+1+x)/(n+x) ]ⁿ > 1,

hvoraf det fremgår, at L_n+1(x) - L_n(x) > 0 for x > 0, og for n > 0 . Følgen {L_n(x)} er altså stigende.

Endvidere er

L_n(x) = (1 + x/n)ⁿ = 1 + (ⁿ₁)(x/n) + (ⁿ₂)(x/n)² + ... + (ⁿ_j)(x/n)^j + ... + (ⁿ_n)(x/n)ⁿ

Da nu  n! / (n-j)! = n·(n-1)·...·(n-j+2)·(n-j+1) < n^j , har vi (ⁿ_j)/n^j < 1/j! , og dermed

L_n(x) < 1 + x + x²/2! + ... + x^j/j! + ... + xⁿ/n! < e^x , for x > 0 , så følgen {L_n(x)} er begrænset.