Integralregning

Er det virkelig b-niveau..

a)

Jeg ville definere (0,0) som i midten af bunden af bægeret, og så dele op i 3 arealer:

- x går fra 0 til 1,8 (integralet af g plus de 2x2cm)

- x går fra 2 til 3,8 (1,8x4cm minus integralet af f)

- den lille trekant med alpha=-4 (brug pythagoras og træk fra midterste areal)

Så kan arealet regnes om til volumen med faktor 2pi, og så kan vægten bestemmes.

b)

Bestem længden af hver linje på højre halvdel og gang med 2pi.

Man har
f (2,5) = 0
Endvidere
f (x₀)  = λ (x₀)  gælder, når x₀ er løsning i
ln (x₀ - 1,5) + 4·x₀ - 17,2  =  0
# 0 b)  Hvor meget skal lakeres?
      c)   f  g  λ    ligger fast, så jeg forstår ikke minimalgodstykkelsen.

Hvordan ved man at linjen går gennem 3,8;2?

Eller hov nu forstår jeg det :)

Men forstår ikke, hvor man sig f(2,5)=0

*siger

#6 Det må være pga:

ln(2,5 - 1,5) = ln(1) = 0

men hvorfor indsætter man 2,5?

f(25) = ln(2,5 - 1,5) = ln(1) = 0

#9

Det er blot en observation, at f(2,5) = 0 .

Det drejer sig først om at finde skæringspunktet mellem linien λ og grafen for f(x) (se #2). Linien λ har ligningen

        y = -4·(x - 3,8) + 2 = -4x + 17,2

så man skal løse ligningen

        -4x₀ + 17,2 = ln(x₀ - 1,5)

der har løsningen x₀ ≈ 4,0645 med f(x₀) = 0,9418 .

Figurens rumfang kan nu bestemmes som summen af

1) rumfanget V₁ af en cylinder med radius x₀ og højden 2+f(x₀) , og

2) rumfanget V₂ af en keglestub med store radius R = x₀, lille radius r = 3,8 og højden 2 - f(x₀)

hvorfra der trækkes de to rumfang

3) rumfanget V₃ af en halvkugle med radius 2 , og

4) rumfanget V₄ af omdrejningslegemet, der fremkommer ved drejning 360º om y-aksen af grafen for
    funktionen f(x) + 2  på intervallet [x₁ ; x₀] , hvor x₁ er løsning til ligningen    f(x₁) = -2 .

Altså

        V = V₁ + V₂ - V₃ - V₄ .

Det fundne rumfang V ganges så med vægtfylden.

godt spørgsmål. Man får i hvertfald dermed at vide, at f skærer x-aksen ved x=2,5

#9

Tænkte på om det er muligt at findet volumnet ved at bruge integration ved rotation af graf om y-aksen istedet?

#12

Det er jo for så vidt det, der gøres ved fremgangsmåden i #9. Men man kan jo drage fordel af, at man kender rumfangsformler for halvkugler, cylindre og keglestubbe.

# 12
Ved at omskrive de indgående funktioner til deres inverse, er rotation omkring x-aksen også en mulighed.
Det var måske det, du mente med # 12 ?
Volumen af figuren ved denne fremgangsmåde er

som skulle give
V = 88,6613873553  (ser godt nok lidt stort ud !)
 

#14

Det ser ganske elegant ud. Benytter man metoden i #9 får man

        V₁ = 152,681524
        V₂ = 51,4251945
        V₃ = 16,7551608
        V₄ = 98,6901707

og dermed

        V = V₁ + V₂ - V₃ - V₄ = 88,661387

i nydelig overensstemmelse med #14.

# 15 og 14
Det kan man da kalde at sikre sig med både livrem og seler.

(billede:   ivaekst.dk)
Billede af mand med livrem og seler forsvandt vist.

Parentesbemærkningen i sidste linje i # 14 :
Det er interessant, at længde og areal er intuitivt klart for en skønsmæssig bedømmelse af.
Anderledes forholder det sig med rumfanget, når figuren er så sammensat som her.
Akseenhederne har også uens længde.
Knap 89  cm³ af et æggebæger at være, synes af meget, men et overslag,  (π·4²·4)/2 ≈ 96
sandsynliggør resultatet.  

Mon der er plads til et Columbus-æg i dette æggebæger?

# 18
Jo !

Hvorfår ikke følgende helt:

- man skulle tage funktionernes invers, men:

  · hvorfor skal man gøre det?

  · hvordan gøres det?