Ligning med komplekst tal

Man har så

        c⁴ - (2i)⁴ = 0 ,

dvs.

        (c² - (2i)²)·(c² + (2i)²) = 0 ,

dvs.

        (c² - (2i)²)·(c² -2²) = 0 ,

eller

        (c - 2i)·(c + 2i)·(c - 2)·(c + 2) = 0

hvoraf man ved at benytte nulreglen kan aflæse de 4 rødder i ligningen.

Det virker jo bare ikke, for der gælder jo ikke, at 2⁴·i⁴ = -16 . Derimod er 2⁴·i⁴ = 16, og 4²·i² = -16 . I stedet har man

        c⁴ -4²·i² = 0 , dvs.

        (c² + 4i)·(c² - 4i) = 0 .

Nu er [ ((√2)/2)·(1 + i) ]² = (1/2)·2i = i , og    [ ((√2)/2)·(1 - i) ]² = (1/2)·(-2i) = -i , så vi kan fortsætte

        (c + (√2)·(1+i))·(c - (√2)·(1+i))·(c + (√2)·(1-i))·(c - (√2)·(1-i)) = 0 ,

hvoraf man aflæser de fire rødder i ligningen c⁴ = -16 .

c =  

√2 + √2 i
   √2 - √2 i
- √2 + √2 i
- √2 - √2 i

?

Tak, det giver god mening nu. :-)

Hvis jeg opløser (c² + 4i) i to faktorer får jeg dem til at være:

(c+2(-sqrt(i)))*(c-2(-sqrt(i)))= c²+4i

ligeledes med (c2 - 4i):

(c+2sqrt(i))*(c-2sqrt(i))=c2-4i

så mit samlede udtryk bliver:

0=(c+2(-sqrt(i)))*(c-2(-sqrt(i)))*(c+2sqrt(i))*(c-2sqrt(i))

Hvorfra jeg kan aflæse de 4 rødder for ligningen c⁴=-16:

c=2*√(i)

c=−2*√(i)

c=−2*√(i)

c=2*√(i)

Men her er jo egentlig kun to rødder. Hvad er gået galt?

#5

Der er gået det galt, at √i står for et vilkårligt tal af de to rødder i ligningen z² = i .