Matematik

Konvergens af integral

30. april 2014 af ma1908 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Afgør om integralet

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}(2-x)}dx$

er konvergent eller divergent uden at beregne værdien.

Er der nogle der kan hjælpe med hvordan denne skal gribes an? Tænker måske jeg skal ud i noget substitution, men kan ikke få det til at fungere.

Brugbart svar (0)

Svar #1
30. april 2014 af Andersen11 (Slettet)

Se evt. https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1473458

Svar #2
30. april 2014 af ma1908 (Slettet)

Tak.

Jeg forstår bare ikke hvordan jeg skal komme frem til den stamfunktion i hånden.

Brugbart svar (0)

Svar #3
30. april 2014 af Andersen11 (Slettet)

Man kan jo bemærke, at

$\frac{1}{\sqrt{x}\left ( 2-x \right )}=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{2\left ( 2-x \right )}$

Det sidste led er kontinuert og begrænset på [0;1] . Det første led (1/2)·x^-1/2 kan integreres ind i 0.

Svar #4
30. april 2014 af ma1908 (Slettet)

Okay tak, det kan jeg godt se. Tak!

Har du måske et hint til hvordan jeg kan vise at integralet divergerer hvis vi betragter intervallet mellem 1 og 2 i stedet?

Brugbart svar (0)

Svar #5
30. april 2014 af Andersen11 (Slettet)

Der er det jo det andet led, der er problemer med, og man har

$\int_{1}^{2}\frac{\sqrt{x}}{2\left ( 2-x \right )}\, \textup{d}x=\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{2-t}}{2t}\, \textup{d}t$

og man ser, at singulariteten i integranden ved t → 0 gå som 1/t , der ikke kan integreres ind i 0 .

Brugbart svar (0)

Svar #6
30. april 2014 af Tilj (Slettet)

Jeg kan se, at de to integraler, som du har sat lig hinanden begge går mod uendelig. Men jeg forstår ikke hvor de to integraler kommer fra og dermed heller ikke hvad dette resultat fortæller. :(

Brugbart svar (0)

Svar #7
30. april 2014 af Andersen11 (Slettet)

Det kommer fra omskrivningen i #3.

Brugbart svar (0)

Svar #8
30. april 2014 af Tilj (Slettet)

Hvordan kan man vælge kun at tage integralet af det sidste led i #3?

Men er konklusionen så, at det oprindelige integrale mellem 1 og 2 er divergent? Og hvad har dette at gøre med stamfunktionen du henviser til i #1 ? Jeg kan ikke se sammenhængen i fremgangsmåden.

Tak :)

Brugbart svar (0)

Svar #9
30. april 2014 af Andersen11 (Slettet)

Der er ingen problemer med integralet af det første led. Spørgsmålet om konvergens kan derfor besvares ved at se på det sidate led.

I deen anden tråd gav jeg en stamfunktion, og spørgsmål om konvergens kan så afgøres ved at se direkte på stamfunktionen. Men opgavens formulering opfordrer til at afklare spørgsmål om konvergens uden at bestemme stamfunktionen.

(Det hedder et integral, ikke integrale).

Brugbart svar (0)

Svar #10
30. april 2014 af Tilj (Slettet)

Okay. Jeg takker for din tålmodighed.

Kan man også ud fra #3 se, at integralet mellem 0 og 1 konvergerer?

Og i #5 er jeg lidt i tvivl om hvorfor man sætter integralet mellem 1 og 2 lig det andet integral mellem 0 og 1, og hvor får man integralet mellem 0 og 1 fra?

Brugbart svar (1)

Svar #11
30. april 2014 af mortensvin (Slettet)

Sidder med samme opgave. Du kan benytte at $\int^1_0 \frac{1}{x^{1/2}}} dx$ konvergerer. Men de to andre kan jeg ikke komme videre med.

Brugbart svar (1)

Svar #12
30. april 2014 af Andersen11 (Slettet)

#10

Ja, det er jo bemærket i #3.

I #5 foretages der substitution t = 2-x , x = 2-t , dx = -dt .

Brugbart svar (0)

Svar #13
30. april 2014 af Tilj (Slettet)

#12

Men hvad er ideen med at have integralet på den substituerede form? Jeg kan se at du har forklaret at "singulariteten i integranden ved t → 0 gå som 1/t , der ikke kan integreres ind i 0". Jeg forstår dog ikke helt dette.

Brugbart svar (0)

Svar #14
01. maj 2014 af Tilj (Slettet)

Er der nogen der har fundet ud af om integralet er konvergent eller divergent på intervallet mellem 0 og 2?

Brugbart svar (0)

Svar #15
01. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)

#14. Indskyd punktet 1 mellem 0 og 2.

Brugbart svar (0)

Svar #16
01. maj 2014 af Tilj (Slettet)

#15 Okay, så får man:

$\int_{0}^{2}\frac{1}{\sqrt{x}(2-x)}=\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}(2-x)}+\int_{1}^{2}\frac{1}{\sqrt{x}(2-x)}$

Jeg ved jo at integralet mellem 0 og 1 konvergerer og integralet mellem 1 og 2 divergerer. Så integralet mellem 0 og 2 må vel så divergere.

Brugbart svar (0)

Svar #17
01. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)

#16

Netop.

Brugbart svar (0)

Svar #18
02. maj 2014 af Tilj (Slettet)

#17

I #5 forklarede du: "og man ser, at singulariteten i integranden ved t → 0 gå som 1/t , der ikke kan integreres ind i 0"

Jeg kan ikke helt se det, vil du prøve at forklare det nærmere? Tak :)

Brugbart svar (0)

Svar #19
05. maj 2014 af Tilj (Slettet)

Er der nogen som kan svare på ovenstående spørgsmål ?

Brugbart svar (1)

Svar #20
05. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)

For integralet i #5 har man

$\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{2-t}}{2t}\, \textup{d}t\geqslant \int_{0}^{1}\frac{1}{2t}\, \textup{d}t$

og det sidste integral er divergent.

Forrige 1 2 Næste

Der er 21 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.