Bestem konvergensradius for en række

Jeg tror man skal benytte forholdstesten, hvis jeg benytter den, får jeg cx. Jeg kan dog ikke se, hvad man får ud af det resultat. Jeg kunne også godt tænke mig at vide, hvordan man gør :)

For at bestemme konvergensradius r foren potensrække ∑ a_nxⁿ , skal man se på talfølgen |a_n+1/a_n| . Hvis alle a_n er forskellige fra 0, og |a_n+1/a_n| en konvergent med grænseværdi κ , gælder der, at potensrækken har konvergensradius r = 1/κ .

For den pågældende række gælder der, at

        |a_n+1/a_n| = |cⁿ/(n+1) / (c^n-1/n)| = |c|·n/(n+1) , c ≠ 0 .

For c ≠ 0 er rækkens konvergensradius derfor r = 1/|c| .

For c = 0 er rækken identisk med funktionen x , der konvergerer for alle x.

Mange tak! :-)  Jeg kan dog ikke lige gennemskue, hvordan du får udregningen til:  |c|·n/(n+1).

Jeg troede også man skulle benytte forholdstesten:  |a_n+1xⁿ⁺¹/a_nxⁿ|  for n→∞

Jeg har endnu et spørgsmål, det er spørgsmål b) til det spørgsmål, som er blevet besvaret i denne tråd. 

b) Lad f : ]-r , r[ → C  betegne sumfunktionen for den ovenstående række. Vis for alle reelle c ≠ 0, at f(x) er en strengt voksende funktion af x.

#5

Da har man jo, at f(x) for |x| < r = 1/|c| er differentiabel med

        f '(x) = ∑^∞_n=0 (cx)ⁿ = 1/(1 - cx) > 0 .

Jeg tror ikke helt jeg forstår #6. Hvordan kommer du frem til f'(x) ?

#7

Rækken

        f '(x) = ∑^∞_n=0 (cx)ⁿ

fremkommer ved ledvis differentiation af den oprindelige række for f(x) . Rækken for f '(x) har samme konvergensradius son rækken for f(x).

Det bør være velkendt, at rækken     ∑^∞_n=0 zⁿ   er konvergent for |z| < 1 med sum   1/(1-z) . Sætter man

        q = ∑^∞_n=0 zⁿ ,

har man jo, at

        q·z = ∑^∞_n=1 zⁿ ,

og dermed at

        q - q·z = 1 .

Jeg forstår heller ikke hvordan du kommer frem til at | (cⁿ/(n+1) / (c^{n -1}/n) | = |c|·n/(n+1) i #2.

Nogen der kan udlede dette?

#9

Man har

| (cⁿ/(n+1) / (c^{n -1}/n) | = | (cⁿ/(n+1) · (n/c^{n -1}) | = | c^n-(n-1) ·n/(n+1) | = |c|·n/(n+1)

Selvfølgelig, skal vist lige have genopfrisket brøkregnereglerne ;)