Matematik

Projektion af punkt på linje

24. maj 2014 af cecilied34 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej SP. Er der nogen der ved hvordan man løser opgave C?

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2014-05-24 kl. 19.01.07.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
24. maj 2014 af peter lind

Det kan gøres på flere måder. Da du har fundet afstanden fra toppunktet til linjen er det nemmeste nok at finde ligningen for cirklen med centrum i toppunktet og radius afstand til linjen. Du løser så det ligningssæt, der består af linjens ligning og cirklens ligning

Svar #2
24. maj 2014 af cecilied34 (Slettet)

Okay, tak skal du have. Kan du nævne nogle flere måder, til en anden gang?

Brugbart svar (0)

Svar #3
24. maj 2014 af mathon

En normalvektor til l
er
$\vec{n}=\widehat{\overrightarrow{AB}}=\widehat{\begin{pmatrix} 5-1\\ 3-1 \end{pmatrix}}=\widehat{\begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix} -2\\ 4 \end{pmatrix}}$

hvoraf
$l\! \! :\; \; \; \begin{pmatrix} -2\\4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-1\\y-1 \end{pmatrix}=0$

Brugbart svar (0)

Svar #4
24. maj 2014 af mathon

eller

En normalvektor til l
er
$\overrightarrow{n_1}=\widehat{\overrightarrow{AB}}=\widehat{\begin{pmatrix} 5-1\\ 3-1 \end{pmatrix}}=\widehat{\begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix} -2\\ 4 \end{pmatrix}}= -2 \cdot \begin{pmatrix} 1\\-2 \end{pmatrix}=-2\cdot \vec{n}$

$\vec{n}=-\frac{1}{2}\vec{n}_1$ er derfor også en normalvektor

hvoraf
$l\! \! :\; \; \; \begin{pmatrix} 1\\-2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-1\\y-1 \end{pmatrix}=0$

$l\! \! :\; \; \; x-2y+1=0$

Brugbart svar (0)

Svar #5
24. maj 2014 af mathon

b)
            $y=\left ( x-4 \right )^2-\frac{5}{2}$
                med toppunkt
                                           $T=\left ( 4,-\frac{5}{2} \right )$

toppunktets afstand fra l:
$dist\left (l,T\left ( 4,-\frac{5}{2} \right ) \right )=\frac{\left | 4-2\cdot \left (-\frac{5}{2} \right )+1\right |}{\sqrt{1+(-2)^2)}}=2\sqrt{5}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
24. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)

Man har bestemt parabelens toppunkt T, afstanden d fra parabelens toppunkt til linien l, og man har bestemt en ligning for linien l på formen ax + by + c = 0 . En normalvektor til linien l er da

n = [a ; b] .

En stedvektor til projektionen P af parabelens toppunkt T på linien l er da et af de to punkter

OP = OT ± d·n/|n| .,

hvor O er koordinatsystemets begyndelsespunkt. Man vælger det ene af de to punkter, der ligger på linien l.

Brugbart svar (0)

Svar #7
24. maj 2014 af mathon

Da afstanden regnet med fortegn er større end nul, ligger toppunktet i l's positive halvplan.
Retningen af vektor
$\overrightarrow{TP}$ i

                                  $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OT}+\overrightarrow{TP}$     er derfor modsat $\overrightarrow{n}$
   hvorfor
                                  $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OT}-\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\cdot \begin{pmatrix} 1\\-2 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\-\frac{5}{2} \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 2\\-4 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\\frac{3}{2} \end{pmatrix}$

Skriv et svar til: Projektion af punkt på linje

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.