Matematik

Bevis: integration af lineær funktion

04. juni 2014 af Chokokolade (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hvordan kan jeg bevise integration af lineær funktion?

Brugbart svar (0)

Svar #1
04. juni 2014 af SuneChr

Skal beviset være fra bunden, eller er det nok at benytte

$\int x^{n}\: \textup{d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$ for $\int \left ( ax^{1}+bx^{0} \right )\: \textup{d}x$ ?

Svar #2
04. juni 2014 af Chokokolade (Slettet)

Beviset skal helst være fra bunden idet det skal bruges til matematik a mundtlig eksamen.

Svar #3
04. juni 2014 af Chokokolade (Slettet)

Svar #4
04. juni 2014 af Chokokolade (Slettet)

f(x) = y = a•x+b

F(x) = y = a/2 ·x²+ b · x + k

Hvordan kan man forklare dette?

Brugbart svar (0)

Svar #5
04. juni 2014 af SuneChr

# 4
Du kan benytte tretrinsreglen på stamfunktionen og bevise, at F '(x₀) = f (x₀)

Brugbart svar (0)

Svar #6
04. juni 2014 af PeterPølleHatHarEnFedKasket (Slettet)

Problemet er ækvivalent med følgende ordinær lineær førsteordens inhomogene differentialligning; y' = ax+b.
Du gætter nu på løsningen y = \frac{a}{2}x^{2} + bx + c, og viser at dette er en løsning ved at gøre prøve.

Hvorfor du herved har vist at : \int (ax+b) dx = \frac{a}{2}x^{2} + bx + c

Svar #7
04. juni 2014 af Chokokolade (Slettet)

Hvordan benytter jeg tretrinsreglen?

Svar #8
04. juni 2014 af Chokokolade (Slettet)

#6: forstod det ikke.

Brugbart svar (0)

Svar #9
05. juni 2014 af PeterPølleHatHarEnFedKasket (Slettet)

Ideen i #6 er den samme som i #4.
Du gætter på en stamfunktion til den lineære funktion, derefter viser du at dit gæt er rigtig ved at gøre prøve.

Svar #10
05. juni 2014 af Chokokolade (Slettet)

Forskriften for en lineær funktion er: f(x) = y = a•x+b

Ved integration af en lineær funktion fås: F(x) = y = a/2 ·x2 + b · x + k

Forklaring: Tretrinsreglen på stamfunktionen benyttes og jeg beviser, at F '(x₀) = f (x₀)

Hvordan benytter jeg tretrinsreglen på stamfunktionen?

Brugbart svar (0)

Svar #11
05. juni 2014 af SuneChr

Vis, at

$\frac{F\left ( x_{0}+h \right )-F\left ( x_{0} \right )}{h}\rightarrow f\left ( x_{0} \right )\; \; \; for\; \; \; h\rightarrow 0$

hvor f og F er de benyttede funktioner i # 4
Tretrinsreglen er tæsket igennem ca. 10 000 gange her på portalen. Søg i portalens arkiv under "tretrinsreglen".
Der er også udmærkede små korte videoer under "fri viden".

Svar #12
05. juni 2014 af Chokokolade (Slettet)

F(x₀+h) - F(x₀) / h

a(x₀+h)+b - a(x₀+b) / h

ax₀+ah + b - ax₀- ab / h

ah + b - ab / h

a + b - ab

Brugbart svar (0)

Svar #13
05. juni 2014 af PeterPølleHatHarEnFedKasket (Slettet)

For at have udtømt problemet, mangler Du enten en sætning fra din lære bog eller at bevise, at funktionen F(x) fra #4 er samtlige stamfunktioner.

Brugbart svar (0)

Svar #14
05. juni 2014 af Andersen11 (Slettet)

Før man sætter for stort et maskineri i gang, må man først spørge trådstarter (#0) om, hvad der præcist kan forudsættes kendt på dette trin i pensum. Hele afsnittet om differentialregning er ofte gennemgået, når man går i gang med integralregning. Det er derfor sikkert kendt, at

F(x) er en stamfunktion til f(x) ⇔ F '(x) = f(x) .

Endvidere vil man kunne benytte de kendte regler for differentiation af en potensfunktion a·xⁿ . Regler for integration ved substitution og for partiel integration, der kan verificeres ved differentiation, kan måske også antages for at være kendt. Det hele kan måske føres tilbage til at vise, at

(ax²/2 + bx + k)' = ax + b .

Brugbart svar (0)

Svar #15
05. juni 2014 af SuneChr

# 12 er ikke korrekt

SP 0506140032.PNG

Vedhæftet fil:SP 0506140032.PNG

Svar #16
05. juni 2014 af Chokokolade (Slettet)

Er det således?

Vedhæftet fil:Bevis for integration af lineær funktion.pdf

Brugbart svar (0)

Svar #17
05. juni 2014 af Andersen11 (Slettet)

#16

Fjern "= y" fra de to første ligninger. De lange brøker sættes lig med hinanden, og i den f8rste lange brøk skal det være b·(x₀+h) , ikke b + (x₀+h) .

Skriv et svar til: Bevis: integration af lineær funktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.