Mundtlig årsprøve - "Gør rede for forskellige former for matematiske beviser" samt at √(2) er et irrationelt tal.

Du kan bevise matematiske sætninger på flere forskellige måder. Der er selvfølgelig den måde, som bare er lige ud af landevejen, hvor man ikke ændrer på den måde man ville bevise det på, men der er også foreksempel bevis ved modstrid, som du skal bruge for at vise, at kvadratroden af 2 er irrationelt.

Bevis ved modstrid foregår på en sådan måde, at man antager, at det modsatte af det man ønsker at bevise er sandt, og så derefter finder en modstrid på det. Altså må det modsatte være falsk, og dermed har du vist din påstand.

Der er også andre bevisformer, men ved ikke hvilke der bliver gennemgået på C-niveau.

Beviset for at kvadratroden af 2 er irrationelt foregår ved bevis ved modstrid. Antag derfor, at kvadratroden af 2 er rationelt. Vi kan derfor skrive det som en brøk, hvor vi kan antage, at denne er irreducibel  (altså vi har reduceret den så mange gange, at nævneren ikke kan divideres op i tælleren mere). Skriv . Du får så, at

Altså er p² lige, og deraf følger, at p er et lige tal (hvis man sætter et ulige tal i anden, er det ulige). Altså kan vi skrive p=2n, hvor n er et heltal. Hvis vi indsætter den i ovenstående ligning har vi, at og ved at dividere med 2 på hver side har vi, at men det betyder altså, at q² er lige, og dermed q er lige. Men det giver os en modstrid da vi havde antaget, at var irreducibel. Altså har antagelsen om, at  er rationel medført en modstrid, og dermed kan vi konkludere, at  er irrationel.

Hej!

Tusinde tak for den skønne forklaring! Det hjalp enormt meget!  

Jeg har dog et par spørgsmål:

• Hvad kunne et eksempel på et bevis, som er lige ud af landevejen, være? 

• Hvad kunne andre eksempler på beviser som findes gennem modstrid være? 

Jeg er ENORMT glad for, at du tog dig den tid til at forklare det! Det betyder bare ekstremt meget! :-) 

Et bevis, som er lige ud af landevejen, er et bevis, hvor du bare ser på dine antagelser og bare går fra dine antagelser til din konklusion, uden at ændre på metoden.

F.eks. kan vi bevise, at for alle reelle tal x,y, der gælder, at

Betragt (x-y)². Da alle tal i anden er positive, så er (x-y)² positiv. Altså gælder, at . Vi har dermed, at

Dermed bevist.

Andre eksempler på beviser ved modstrid er f.eks. beviset for, at der er uendelig mange primtal. Det er et bevis, som ofte bliver brugt i matematik, da det er en meget nyttig bevisform.

Hmm.... Tusinde tak! :-D