Aritmetik på de reelle tal og potens begrebet.

Man vil i almindelighed kræve, at a > 0 , dvs a ∈ R₊ .

Jeg forstår ikke, hvad du mener med     ∀x₁,x₂∈[a,b] a,b∈R I ∃x₁∈Q ∧ ∃x₂∈R\Q .

Man kan definere a^x for a ∈ R₊ og x ∈ R ved      a^x = e^ln(a)·x .

Beregninig af sådanne funktioner som eksponentialfunktioner, logaritmefunktioner, trigonometriske funktioner og lignende sker inden for numerisk analyse. Der findes mange måder til at gennemfører det men lige eksponentialfunktioner er rimelig nem. Man bruger her McLaurin rækker. For eksponentialfunktionen gælder

e^x = 1+x+ x²/2!+x³/3!+x⁴/4!+...

Rækken fortsætter i det uendelige, hvad man jo ikke kan gøre i praksis. Heldigvis kan man bevise at den maksimale fejl man begår ved at stoppe efter n summer er det næste led i rækken
 

Med ?x1,x2?[a,b] a,b?R I ?x1?Q ? ?x2?R\Q., mener jeg at der for et hvilket som helst afsluttet delmængde af R, gælder at dette både indeholder rationelle og irrationelle tal.

Hvis du definere a^{\ksi} = \exp(\ln \ksi), giver ikke nogen mere fornuftig måde beregne a^{\ksi}.

Ligeledes ser jeg ikke hvordan det at aproximere værdien ved et taylor række gør det, idet hvordan skal jeg forstå produktet \ksi^{n}, hvis n er et naturligt tal og \ksi stadig er et irrationalt tal.

Min pointe er at problemet har at gøre med noget meget mere fundamental ved de reelle tal, at det ikke er trivielt at gå fra de rationelle tal til de reelle tal. Den måde behandler regne operationerne + og x på Q, er altså ikke tilstrækkelig på R.

#3

Det bør du så skrive logisk korrekt: ∀a,b∈ R: b > a ⇒ ∃ x₁∈R ∃x₂∈R\Q: a < x₁ < b ∧ a < x₂ < b .

Den naturlige eksponentialfunktion e^x kan defineres entydigt som en kontinuert differentiabel funktion

                       e^x : R → R₊ .

Man kan, for eksempel definere den naturlige logaritmefunktion   ln(x) : R₊ → R   ved

       

Da ln(x) er strengt voksende på hele R₊ , har den en omvendt funktion, der så defineres som funktionen
exp(x) : R → R₊ . Det er let at vise, at der gælder regnereglerne

        ln(a·b) = ln(a) + ln(b) , for a,b ∈ R₊ ,

og

        exp(a+b) = exp(a) · exp(b), for a,b ∈ R .

Funktionerne ln(x) og exp(x) er differentiable, og der gælder

        (ln(x))' = 1/x

og

        (exp(x))' = (ln^-1(x))' = 1/(ln(ln^-1(x))' = 1/(1/exp(x)) = exp(x) .

Funktionen exp(x) er også strengt voksende.

Man definerer tallet e som løsningen til ligningen ln(e) = 1. Dermed har man

       ln(1) = 0 , ln(e) = 1 ,    exp(0) = 1 , exp(1) = e , og specielt, at e > 1 .

For x ∈ R har man       

        1 = exp(0) = exp(x-x) = exp(x) · exp(-x) , så

        exp(-x) = 1 / exp(x) .

For positive, hele n har man

        exp(n+1) = exp(x) · exp(1) = e · exp(n) ,

så ved induktion er det let at vise, at

        exp(n) = e · e · ... · e    ( i alt n faktorer) ,

hvilket vil være naturligt at skrive som en , dvs

        exp(n) = e · e · ... · e = eⁿ .

For reelt x og positiv, helt n , har man

        exp(x·(n+1)) = exp(xn) · exp(x) ,

så man kan også vise ved induktion, at

        exp(x·n) = exp(x) · exp(x) · ... · exp(x)   (i alt n faktorer),

hvilket det vil være naturligt at skrive som (exp(x))ⁿ , dvs.

        exp(x·n) = exp(x) · exp(x) · ... · exp(x) = (exp(x))ⁿ .

For n positv og hel har man nu

        e = exp(1) = exp((1/n)·n) = (exp(1/n))ⁿ ,

hvorfor det vil være naturligt at skrive

        exp(1/n) = e^1/n .

For p,q positive og hele har vi da

        exp(p/q) = exp((1/q)·p) = (exp(1/q))^p = (e^1/q)^p = e^p/q

og

        exp(-p/q) = 1/exp((p/q) = 1/(e^p/q) = e^-p/q .

Det er derfor forholsvis let at retfærdiggøre notationen e^x = exp(x) for x ∈ Q , og det vil være rimeligt at definere

        e^x = exp(x)    for x ∈ R

da exp(x) er en kontinuert og differentiabel funktion.

Derefter kan vi tage springet og for a ∈ R+ og x ∈ R da at definere

        a^x = exp(ln(a)·x) = e^ln(a)·x .

Andersen11, jeg tror du har misforstået hvad det er jeg søger i problemet. Men dette er nok primært min egen fejl, da jeg kunne havde udtryk mig mere eksplicit og klart i #0.

Jeg tror imellem tid at jeg fundet frem til en - ikke tilfredsstillende - løsning, der er forlængelse af mit første approach.

Vælger jeg en punktfølge (ξ_n), med grænsepunkt ξ, hvor alle ξ_n er rationelle tal. Må a^ξ = \lim_{n\rightarrow\infty} (a^{ξn}). På denne måde undgår jeg at problemet omkring hvordan man fra en beregningsmessigt synspunkt skal forstå størrelser, som eks. produktet imellem to irrationelle tal.

#6

Måske er dit problem snarere at definere de reelle tal.

Q kaldes mængden af rationale tal, ikke rationelle tal.