Matematik

Substitution

07. juni 2014 af Hijsa - Niveau: A-niveau

Hej,

Nogle der ved hvor man kan finde beviset for integration ved substitution for BESTEMTE integraler?

Brugbart svar (1)

Svar #1
07. juni 2014 af peter lind

Nu betoner du BESTEMTE. Du kan bruge beviset for integraler generelt. Det bestemte integral er jo blot en overbygning på de ubestemte integraler

Brugbart svar (1)

Svar #2
07. juni 2014 af mathon

når F(x) er en stamfunktion til f(x)
gælder
$\left ( F(g(x)) \right ){}'= f(g(x))\cdot g{\, }'(x)$
hvoraf
$\int f(g(x))\! \cdot \! g{}'(x)dx=F(g(x))+k$
og dermed

$\int_{a}^{b} f(g(x))\! \cdot \! g{}'(x)dx=\left [ F(g(x)) \right ]_{a}^{b}=F(g(b))-F(g(a))$

en praktisk lettelse er

at sætte
u=g(x) og dermed $du=g{\, }'(x)\cdot dx$
som ved substitution giver:

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \int_{a}^{b} f(g(x))\; dx=\int_{\alpha =g(a)}^{\beta =g(b)}f(u)\, du=\left [ F(u) \right ]_{\alpha }^{\beta }=F(\beta )-F(\alpha )=F(g(b))-F(g(a))$

Brugbart svar (1)

Svar #3
07. juni 2014 af mathon

eksempel₁:

Vedhæftet fil:integration_substitution_1.doc

Brugbart svar (1)

Svar #4
07. juni 2014 af mathon

eksempel₂:

Vedhæftet fil:integration_substitution_2.doc

Brugbart svar (1)

Svar #5
07. juni 2014 af mathon

eksempel₃:

Vedhæftet fil:integration_substitution_3.doc

Svar #6
07. juni 2014 af Hijsa

Tak mathon!

Peter Lind: Så beviset for substitution ved bestemte integraler er nøjagtig det samme som for ubestemte, blot ved at man indsætter integrationsgrænserne?

- Og gælder delvis integration også for bestemte integraler?

Brugbart svar (1)

Svar #7
07. juni 2014 af mathon

korrektion til #2's sidste linie:

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \int_{a}^{b} f(g(x))\cdot {\color{Red} g{\, }'(x)}\; dx=\int_{\alpha =g(a)}^{\beta =g(b)}f(u)\, du=\left [ F(u) \right ]_{\alpha }^{\beta }=F(\beta )-F(\alpha )=F(g(b))-F(g(a))$

Brugbart svar (0)

Svar #8
07. juni 2014 af peter lind

#6 Ja

Skriv et svar til: Substitution

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.