Matematik
*haster lidt* Mundtlig matematik for DTU ADK A Niveau differentialligninger
Jeg er i færd med at gennemgå spørgsmålene til min mundtlige eksamen torsdag og har løbet panden mod en mur.
Opgaven hedder som følgende:
11) Differentialligninger
Redegør for den fuldstændige løsning til den logistiske differentialligning.
Redegør for forløbet af mulige løsningskurver og tangenthældninger for disse.
Jeg har besvaret første halvdel med ligningen
y'=a*y(M-y) og den tilhørende løsning y=1/(1+c*e^(-aMx)
Problemet er bare at jeg ikke har den fjerneste ide om hvordan jeg begrenger forløbet af mulige løsningskurver, lige nu er jeg så paf at jeg ikke engang kan genkende ordene eller de informationer jeg finder.
Håber virkeligt der er nogen der kan hjælpe.
Svar #1
11. juni 2014 af TumpenAlea (Slettet)
Alle mulige tangenthældninger må nødvendigvis være f ' (x) for alle tal i DM
c>0 --> DM:R
c<0--> DM= ]-∞;Ln(c)/(a*M)[
eller DM=]Ln(c)/(a*M; ∞[
Svar #2
11. juni 2014 af Andersen11 (Slettet)
Konstanten c kan fastlægges ud fra en begyndelsesbetingelse y(0) = y0 , med 0 < y0 < M .
Funktionsværdierne y(x) vil generelt ligge mellem 0 og M. Af selve differentialligningen
y' = a·y·(M-y)
ser man, at y' beskrives som et 2.-gradspolynomium i y , hvor y kan antage alle værdierne mellem rødderne 0 og M. Tangenthældningen kan derfor antage alle værdier mellem 0 og toppunktsværdien a·M2/4 .
Svar #3
11. juni 2014 af TumpenAlea (Slettet)
Jeg er ikke sikker på at jeg forstår dit svar. Hermed ikke betydende at du ikke har ret, jeg har sandsynligvis bare stirret mig blind på opgaven, og jeg arbejder ud fra min partners noter... Hvilket i sig selv er en opgave at læse sig igennem.
Jeg kan ikke se hvordan jeg skal være i stand til at fastlægge c, selv med de informationer du giver mig.
y=M/(1+c*e^(-aMx) , jeg har både M, C og A som ubekendte...
Svar #4
11. juni 2014 af Andersen11 (Slettet)
#3
Sædvanligvis vil a og M være kendt, når man betragter differentialligningen
y' = a·y·(M-y) .
M kaldes bæreevnen, og det vil være den grænse, som y nærmer sig asymptotisk, når x → ∞ .
Antager vi, at a og M er kendt, vil konstanten c være fastlagt ved en begyndelsesbetingelse, for eksempel
y(0) = y0 , hvor 0 < y0 < M ,
og man finder her
y0 = y(0) = M/(1+c) ,
så
c = M/y0 - 1 .
Hvis a og/eller M ikke er kendt, kræves der så yderligere oplysninger for at fastlægge disse.
Svar #5
11. juni 2014 af TumpenAlea (Slettet)
#4
Det er bevis arbejde, jeg arbejder ikke ud fra et konkret eksempel men ganske enkelt beviset.
Det jeg spørger om er hvordan jeg beregner forløbet af Alle mulige løsningskurver.
Dertil kan jeg ikke se hvordan jeg skal bruge værdien af C til noget når jeg ikke arbejder ud fra et konkret eksempel.
Skriv et svar til: *haster lidt* Mundtlig matematik for DTU ADK A Niveau differentialligninger
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.