Bevis - formler arealberegning (højden ligger i trekanten)

www.frividen.dk

Nedfæld en højde og se på de retvinklede trekanter, som den danner. Udtryk derefter højden ved en af siderne og sinus til en vinkel. Indsæt i udtrykket for trekantens areal.

#1 - så vidt jeg kan se, er der ikke noget bevis for formlen til arealberegning i trekanter? :) 

#2 - kan du skære det ud i pap? Jeg er ikke sikker på, jeg forstår, hvad du mener. 

#3

Nedfælder man for eksempel højden h_b fra B på siden AC og antager vi, at højden ligger inde i trekanten, har man

        h_b = c·sin(A) = a·sin(C) ,

hvilket allerede giver en del af sinusrelationerne. Trekantens areal er da

        T = (1/2)·h_b·b = (1/2)·b·c·sin(A) = (1/2)·a·b·sin(C) .

De øvrige formler fås ved simpel bogstavombytning.

#4 

Er vi så ikke på vej ud i beviset for sinusrelationerne? 

Det hænger måske sammen? :)

Jeg forstår ikke, hvori beviset for formlen til beregning af arealet ligger... 

#5

Det fremgår jo af din egen indledning i #0, at de to elementer hænger sammen.

Arealet af en trekant er som bekendt      T = (1/2)·h·g  , hvor h er en højde, og g er den tilhørende grundlinie. I #4 benyttes højden h_b og den tilhørende grundlinie b .

Sinusrelationerne fremkommer ved at opskrive to udtryk for den samme højde h_b . Udtrykket for arealet fremkommer ved at benytte det fundne udtryk for h_b .

#6

Så for at bevise formlerne til arealberegning, stopper jeg egentlig bare midt i beviset for sinusrelationerne? 

Altså når jeg eksempelvis er kommet frem til T=1/2*G*hos*sin(A) ? 

#8

Hvordan det? 

Hvis jeg laver en vilkårlig trekant og afsætter højden, så jeg har to retvinklede trekanter - så starter jeg vel med at sige: "Jeg kender ikke højden h, så den skal jeg have udtryk vha. noget andet"... eller hvad? 

For at udtrykke h anderledes, tager jeg vel sin(v) i brug; sin(A)=h/hyp <--> h=hyp*sin(A)

Indsætter dette i udtrykket for arealet: T=1/2*hos*hyp*sin(A)

Er det helt skævt?

Jeg tror, jeg må kigge på det med friske øjne i morgen. 

Tak for hjælpen, i hvert fald :)