Matematik
Redegørelse for omdrejningslegemet omkring y-aksen.
Hej SP er blevet bedt om at udrede formlen for omdrejningslegemet omkring y-aksen, og ville være sikker på at det jeg gør er "lovligt"/Giver mening?
Tager udgangspunkt i Vcylinderskal=π·h·r2 => ΔVcylinderskal=π·h·(r2udvendig-r2indvendig)
rudvendig=x+Δx og rindvendig=x og h=f(x+Δx)
Så jeg har at:
ΔV=π·f(x+Δx)·((x+Δx)2-x2)
ΔV=π·f(x+Δx)·(x2+Δx2+2xΔx-x2) (Regner kvadratet)
ΔV=π·f(x+Δx)·(Δx2+2xΔx) (forkorter)
ΔV=π·f(x+Δx)·Δx(Δx+2x) (sætter fælles faktor udenfor parentes)
ΔV/Δx=π·f(x+Δx)·(Δx+2x) (dividerer ligningen med Δx) Og vil undersøge om ligningen er differentiabel
Lim Δx→0 (ΔV/Δx)= Lim Δx→0 (π·f(x+Δx)·(Δx+2x))
V'=π·f(x)·2x
V=∫π·f(x)·2x dx
V=2π·∫x·f(x) dx
Svar #1
19. juni 2014 af Lurch (Slettet)
Det ser umiddelbart rigtigt ud.
Et par ting:
1. Der er ingen grund til at bruge h = f(x+dx). Det er lige så korrekt at bruge f(x). Hvis man skal lægge noget til overhovedet burde det være f(x +dx/2), altså højden midt mellem dine to radier. I grænsen ahr det dog ingen betydning
2. Måske er jeg for meget fysiker, men når du forkorter kan du sætte dx^2=0 med det samme. Tænk over at dette er et infinitisimalt lille tal, og derved er dx^2 << 2*x*dx.
3. Hele beregningen er sådan set bare en summering af små voluminer af cylinder skaller med højden f(x) og radius r=x, som du også lægger op til:
Overfladearealet af en åben cylinder, A = 2*pi*x*f(x)
Det infinitisimale volumen af en infinitisimal cylinderskal er bare arealet ganget med tykkelsen af skallen dx, dV = A*dx = 2*pi*x*f(x)*dx
V = 2*pi * int (x*f(x)*dx)
Skriv et svar til: Redegørelse for omdrejningslegemet omkring y-aksen.
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.