Vektorprodukt.

Beregn |a×b|² ud fra koordinatdefinitionen af krydsproduktet, og vis, at det er lig med

        |a|²·|b|²·(1-cos²(v)) = |a|²·|b|² - (a•b)² .

Med a = (a₁,a₂,a₃) og b = (b₁,b₂,b₃) , har man

        |a×b|² = (a₂b₃ - a₃b₂)² + (a₃b₁ - a₁b₃)² + (a₁b₂ - a₂b₁)²
                                         (i alt 9 led)

og

        |a|²·|b|² - (a•b)² = (a₁²+a₂²+a₃²)·(b₁²+b₂²+b₃²) - (a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃)²
                                         (ialt 9 led)                           (i alt 6 led)
                             (der reduceres til de samme 9 led som i det første udtryk)

Tak for det hurtige svar, men jeg er stadig ikke med. Hvordan bliver det reduceret til det første udtryk, kan overhovedet ik få det til at passe..

#3

I udtrykket for |a|²·|b|² - (a•b)² er det første produkt jo et produkt af to 3-leddede størrelser. Hvert led i den ene størrelse ganges med hvert led i den anden størrelse, i alt 9 led. Det andet produkt, der skal trækkes fra, er et kvadrat på en 3-leddet størrelse, der som bekendt giver 6 led, og tre af disse led (nemlig kvadraterne) går ud mod tre af leddene i det første produkt, hvorfor der bliver 9 led tilbage. Jeg går ud fra, at du kender de elementære regneregler.

Mere detaljeret til #2:

        (a₁²+a₂²+a₃²)·(b₁²+b₂²+b₃²) = a₁²b₁² + a₁²b₂² + a₁²b₃²
                                               + a₂²b₁² + a₂²b₂² + a₂²b₃²
                                               + a₃²b₁² + a₃²b₂² + a₃²b₃² ,

        (a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃)² = a₁²b₁² + a₂²b₂² + a₃²b₃² + 2a₁b₁a₂b₂ + 2a₁b₁a₃b₃ + 2a₂b₂a₃b₃ ,

hvorfor

         |a|²·|b|² - (a•b)² = a₁²b₂² + a₁²b₃²
                                + a₂²b₁² + a₂²b₃²
                                + a₃²b₁² + a₃²b₂² 
                                - 2a₁b₁a₂b₂ - 2a₁b₁a₃b₃ - 2a₂b₂a₃b₃

der så sammenholdes med leddene i

         |a×b|² = (a₂b₃ - a₃b₂)² + (a₃b₁ - a₁b₃)² + (a₁b₂ - a₂b₁)²

Jeg forstår hvad du siger, kan bare ikke få det til at passe. Det er som om det her bevis bare er en del sværere en de andre i mit pensum. Det er det eneste jeg mangler at få styr på, så må bare håbe på jeg ikke komme op i det, gudskelov er det kun med i 1 spørgsmål ud af 22. Men tak for forsøget :)

Har lige set dit svar, så det ser jeg lige igennem, tak...

Man kan alternativt gøre brug af følgende regler, der gælder for vilkårlige vektorer:

        a × (b × c) = (a•c)b - (a•b)c           (I)

        (a × b)•c = (b × c)•a                      (II)

Man har så

        |a×b|² = (a×b)•(a×b) = (b×(a×b))•a = ((b•b)a - (b•a)b)•a

                 = (b•b)·(a•a) - (b•a)·(b•a)

                 = |a|²·|b|² - (a•b)²

men man kan naturligvis indvende, at bevisbyrden så er flyttet over til at vise (I) og (II), hvis de ikke allerede er til rådighed.

Det er dårlig joke det her bevis.. tak for hjælpen sætter pris på det, men har opgivet. 

#9

Hvor ser du en joke i dette? Der er tale om helt elementære udregninger, der skal gennemføres, og det er blevet gjort for dig ovenfor.

Det er snothammerende forvirrende, kan simpelthen ikke holde fokus. Kan være det er fordi jeg har stirret mig blind på det, har de sidste 5+ timer på det bevis, 5 gange så lang tid på de andre beviser. Fik 12 i skriftlig A, så jeg er altså ikke helt ny..

#11

Du bør da selv vide, hvilke arbejdsmetoder, der virker bedst for dig.