Side 2 - Convolution (Laplace)

#

Ja, men bidraget ophæves efter t > 2. Hvorfor tager man ikke højde for det?

#21

Der står jo til sidst, at hvis t > 2 integreres i τ fra 1 til 2.

Der betragtes i alt 3 tilfælde:   t < 1 , 1 < t < 2 , og t > 2 .

#22

Det er netop det jeg ikke forstår.

Jeg ville også mene, at integralet var nul for det sidste tilfælde, hvor r(t) = 0 for t > 2.

#23

Der skal integreres fra 0 til t. Hvis t > 2 integreres der effektivt fra 1 til 2, da r(τ) giver bidrag i dette interval.

#24

Så man kunne skrive funktionen som: y(t) = [e^-(t-τ) - 1/2·e^-2(t-τ)]_τ=1^τ=2  ?

#25

Ja. Det er jo netop det der står til allersidst i dit vedlagte dokument.

#26

Funktionen beskriver et masse-fjeder-system med dæmpning. Hvad kan forklaringen være, at den største flytning kommer, når lasten er ikke er der? Prøv at se:

https://dl.dropboxusercontent.com/u/31729551/2.jpg

#26

Jeg synes ikke, at jeg kan komme frem til en logisk forklaring, men det ser da ud til, at udbøjningen vokser lidt endnu - selvom belastnigen er gået mod nul.

Det skyldes vel, at systemet har en hastighed og fortsætter med at bevæge sig i den samme retning, selv om den ydre påvirkning ophører?

#29

Ja, lige netop.

Hvad med denne her:

https://dl.dropboxusercontent.com/u/31729551/1.jpg

Her skal vi differentiere et udtryk som kan opdeles i f(t)e^at, hvor f(t) = tⁿ (n kan være 0, 1, 2...) og a = -1

Hvorfor er det vi ikke tager flere led med i formlen for (3)? Vi har da f(0) ≠ 0?

#29

Hvis f(t) = tⁿ , er f(0) da lig med 0 for n > 0 .

#31

Ja, men hvad hvis n = 0 og kan vi være sikker på, at f'(0) = 0?

#32

f '(0) = 0 for n > 1 .

Hvis n = 0 er udtrykket jo £(e^-t) = 1/(s+1) .

Hvis n = 1 er udtrykket £((te^-t)') = £((1-t)e^-t) = 1/(s+1) - 1/(s+1)² = s/(s+1)² .

#33

Jeg forstår det ikke.

Vi har: f'(t) = nt^n-1

Sætter vi t = 0, har vi: f'(0) = n·0^n-1

Hvis f.eks. n = 1, så giver f'(0) = undef på lommeregneren.

#34

Hvis n = 1 er f(t) = t, og f '(t) = 1, og dermed f '(0) = 1 , men det vil jo slet ikke bidrage. Der skal kun fratrækkes bidragene for de afledede op til f^(n-1)(0) .

#35

Jeg er ikke helt med. Hvad mener du med at 'bidrage'?

Vi har fra formel (3):

for n = 0 har vi kun bidrag fra sⁿ£(f(t))

for n = 1 har vi bidrag fra sⁿ£(f(t)) - s⁰f(0), hvor f(0) = undef   (med n = 1)

for n = 2 har vi bidrag fra sⁿ£(f(t)) - s¹f(0) - s⁰f'(0), hvor f(0) = 0 og f'(0) = 2   (med n = 2)

Kan ikke se, hvordan de led med f(0) og dens afledede skulle give nul.

#36

For n = 1 er f(0) = 0¹ = 0 . At din lommeregner måske siger noget andet, må du tage op med din lommeregner.

For n = 2 er f(t) = t² , f '(t) = 2t og dermed f(0) = f '(0) = 0 .

Pointen er, at der kun kommer bidrag fra det ene led sⁿ£(f(t))

#37

Du har ret.

Nu mangler jeg bare at komme frem til nederste udtryk. Kan du se, hvordan de bruger 'shifting'?

#38

Jeg ved ikke, hvad l_n står for. Hvad vil det sige "to make a shift"? Tilsyneladende erstattes s med s-1 .

#39

Se:

https://dl.dropboxusercontent.com/u/31729551/1.jpg

Jeg ved ikke helt, hvad forholdet er mellem Y og F(s). Er det det samme?