Omskrivning

Blander du ikke grader og radianer i β udtrykket sammen?

#0

I det oprindelige udtryk indgår en størrelse h, mens der i det påståede reducerede udtryk indgår en størrelse b. Er der en sammenhæng mellem disse?

#1

Sådan er det formuleret i lærebogen.

#2

Det er en tastefejl, beklager. Der skulle selvfølgelig have stået:

σ = c + 4·(h/(2a) - 1)·t

Det går ikke op, vel?

Sætter man β = π/4 - φ/2 har man β+φ = π/4 + φ/2 . Dermed har man

        sin(β)·cos(β+φ) = sin(π/4 - φ/2)·cos(π/4 + φ/2)

                                  = (sin(π/4)·cos(φ/2) - cos(π/4)·sin(φ/2))·(cos(π/4)·cos(φ/2) - sin(π/4)·sin(φ/2))

                                  = (1/2)·(cos(φ/2) - sin(φ/2))²

                                  = (1/2)·(cos²(φ/2) + sin²(φ/2) - 2·sin(φ/2)·cos(φ/2))

                                  = (1/2)·(1 - sin(φ))

Tilsvarende har man

        sin(β+φ)·sin(β) = (1/2)·(cos(φ/2) + sin(φ/2))·(cos(φ/2) - sin(φ/2))

                                 = (1/2)·cos(φ)

og

        sin(β+φ)·cos(β) = (1/2)·(1-sin(φ))

og dermed har man

        σ = c·(1 - sin(φ))/(2·(sin(β)·cos(β+φ))) + sin(β+φ)·(h/a·sin(β) - cos(β))·t/(sin(β)·cos(β+φ))

            = c + t·((h/a)·cos(φ)-(1-sin(φ)))/(1-sin(φ))

            = c + t·(2(h/a) -1)

hvor man med φ = 37º får

        cos(φ)/(1-sin(φ)) = 2,00569 ≈ 2 .

#5

Hvad er det for en regel du bruger efter du har brugt additionsformlerne i begyndelsen - altså hvordan kommer du frem til den linje, der hedder noget med 1/2·(...)²?

#6

Man benytter, at sin(π/4) = cos(π/4) = 1/√2 .

#7

Det er rigtigt.

Hvordan kan du så sige:

(1/2)·(cos(φ/2) + sin(φ/2))·(cos(φ/2) - sin(φ/2)) = (1/2)·cos(φ)?

#8

Man benytter formlen for cos til den dobbelte vinkel:

        (1/2)·(cos(φ/2) + sin(φ/2))·(cos(φ/2) - sin(φ/2)) = (1/2)·(cos²(φ/2) - sin²(φ/2))

                                                                                  = (1/2)·cos(φ)

#9

Er du sikker på, at:

sin(β+φ)·cos(β) = (1/2)·(1-sin(φ))

og ikke (1/2)·(1+sin(φ))?

#9

Man har

        sin(β+φ)·cos(β) = sin(π/4 + φ/2)·cos(π/4 - φ/2)

                                  = (sin(π/4)·cos(φ/2) + cos(π/4)·sin(φ/2))·(cos(π/4)·cos(φ/2)+sin(π/4)·sin(φ/2))

                                  = (1/2)·(cos(φ/2) + sin(φ/2))·(cos(φ/2) + sin(φ/2))

                                  = (1/2)·(1 + sin(φ))

så det har du helt ret i. Derved fås så

        σ = c·(1 - sin(φ))/(2·(sin(β)·cos(β+φ))) + sin(β+φ)·(h/a·sin(β) - cos(β))·t/(sin(β)·cos(β+φ))

            = c + t·((h/a)·cos(φ)-(1+sin(φ)))/(1-sin(φ))

            = c + t·((h/a)·2 - 4)

idet   (1+sin(φ)) / (1-sin(φ)) ≈ 4,0 for φ = 37º .

#11

Mange tak for det. Fremgangsmåden giver rigtig god mening.

Jeg har et enkelt spørgsmål tilbage. Kan du også klare det?

#12

Det kan jeg da ikke svare på, før du stiller spørgsmålet.

#13

Vi tager udgangspunkt i den oprindelige ligning i #0 (den øverste). Vi er interesseret i at minimere σ-funktionen ved at variere på variablen β. Løsningen af denne β-værdi viser sig at være som i det følgende:

https://dl.dropboxusercontent.com/u/31729551/1.jpg

hvor tg må læses som tangens. Herudover er f_t = t og f_c = c. Men hvordan kommer man i alverden til ligning (3.9.1.6)? Kan du se det?

(se i øvrigt bort fra, at σ er defineret som P/(2at))

Man har så, at φ = (π/2) - 2β , hvorfor

        σ = c + t·((h/a)·sin(2β) - 1 - cos(2β)) / (1 - cos(2β))

og det kan du sikkert selv more dig med at differentiere. For betingelsen dσ/dβ = 0 finder jeg ligningen

        2·sin(2β) = (h/a)·(1 - cos(2β))

med løsningerne

        cos(2β) = (2·(h/a)² ± 8) / (2·(h/a)² + 8)

#15

Jeg forstår ikke helt, hvad du har lavet. Hvordan ved du, at: φ = π/2 - 2β (forudsat af, at du ikke har set resultatet - dropboxlinket)?

Hvor er det du ender med ligning (3.9.1.6)?

#16

Jeg benyttede resultatet ovenfor   β = π/4 - φ/2 , men det kan måske ikke benyttes her?

Jeg ender ikke med ligning (3.9.1.6), men med udtrykket i #15. Du må selv finde ud af at hægte det sammen med hvad der elelrs foregår i din tekst.

#17

Sådan som jeg forstår det er, at vi differentierer vores oprindelige funktion i #0 (se linket nedenunder):

https://dl.dropboxusercontent.com/u/31729551/2.jpg

Herefter bestemmer vi β, således σ minimeres. Løsningen findes for β = cot^-1(...), altså det lange udtryk i ligning (3.9.1.5) i linket i #14.

Men jeg kan stadigvæk ikke se, hvordan vi går fra (3.9.1.4) til (3.9.1.6). Det står der heller ikke noget i teksten om. Er det endnu en omskrivning?

#18

Jeg ved slet ikke, hvad (3.9.1.4) går ud på.

Hvis man ikke kan antage β = π/4 - φ/2 , må du ud i nogle længerevarende reduktioner. Din tekst nævner selv, at beregningerne er lange.

#19

Nej, det må vi ikke. Vi må antage en β-værdi som angivet i formel (3.9.1.5)

Men i udtrykket (3.9.1.6) indgår der stadigvæk β og φ, så der er i hvert fald ikke indsat nogle værdier. Det ligner noget omskrivning, men jeg kan ikke knække det.