Ligningssystemer; løsning?

Fik regnet mig frem til at (2,2,2) er en løsning, men det er (0,0,0) jo også, og det viste mine beregninger ikke...

(2,2,2) er da ikke en løsning til ligingssystemet.

Antag først, at x = 0 . Så reduceres ligningssystemet til

        yz = 0
        y = 0
        z = 0

dvs y = 0 og z = 0. Tilsvarende ser man, at

        y = 0 ⇒ x = 0 ∧ z = 0 ,

og endelig ser man også, at

        z = 0 ⇒ x = 0 ∧ y = 0 .

For en løsning (x,y,z) hvor ikke alle tre af x,y og z er lig med 0, er alle tre forskellige fra 0. Vi kan nu substituere 3z = xy fra den sidste ligning ind i de to første ligninger, hvorefter vi får

        xy² - 6x = 0
        x²y - 6y = 0 .

Da x ≠ 0 og y ≠ 0 , kan vi dividere den første ligning med x og den anden ligning med y, hvorefter vi får

        y² -6 = 0
        x² -6 = 0 ,

dvs.    x = ±√6 , y = ±√6 , z = xy/3 .

Vi har altså løsningerne

        (x,y,z) ∈ { (0,0,0) , (√6 , √6 , 2) , (√6 , -√6 , -2) , (-√6 , √6 , -2) , (-√6 , -√6 , 2) } .

Ovenstående er korrekt, men jeg tror #0 har en fejl i sin tredje ligning. Der skal nok stå

for så er (2,2,2) nemlig en løsning. Prøv at få inspiration fra #2 til at regne det ud nu.