Omskrivning

Man bygger (1/2)a₀ ind i hver af summerne. I den første sum tilføjes derefter -ib₀ mens der i den anden sum tilføjes ib₀ , med nettoresultat 0.

#1

Vil du uddybe det?

Hvad forstår du ikke i det ovenstående?

      a₀ = (1/2)a₀ + (1/2)a₀ , der tilføjes hver af de to rækker under indeks n = 0.

      0 = -(1/2)ib₀ + (1/2)·ib₀ , der tilføjes hver af de to rækker under indeks n = 0.

Når n = 0, er e^inx = e^-inx = 1

#3

Du har ret.

Hvad med i det følgende:

Σ_n=0^∞ (1/2·(a_n - ib_n)e_inx + 1/2·(a_n + ib_n)e^-inx) = Σ_n=-∞^∞c_ne^inπ

med

c_n = 1/2·(a_n - ib_n)

c_-n = 1/2·(a_n + ib_n)

dvs. c_n er de koefficienter med positive n-værdier og c_-n er de øvrige koefficienter med negative n-værdier.

Jeg kan simpelthen ikke se, hvordan vi laver de oprindelige grænser fra 0 til ∞ om til, så de går fra -∞ til ∞?

#4

Man har

       Σ_n=0^∞ (1/2·(a_n - ib_n)e^inx + 1/2·(a_n + ib_n)e^-inx)

              c_n for n 1 til ∞                 c_-n   for n 1 til ∞
                                        eller      c_n for n -1 til -∞

#5

Jeg kan godt nok ikke se det for mig. Hvad mener du med notationen "n 1  til ∞"?

#6

Man kalder koefficienten c_n hvor n løber fra 1 til ∞ , og c_-n hvor n løber fra 1 til ∞ .

        Σ_n=0^∞ (1/2·(a_n - ib_n)e^inx + 1/2·(a_n + ib_n)e^-inx) = Σ_n=0^∞ 1/2·(a_n - ib_n)e^inx   +  Σ_n=0^∞ 1/2·(a_n + ib_n)e^-inx

                                                        = a₀ + Σ_n=1^∞ 1/2·(a_n - ib_n)e^inx   +  Σ_n=1^∞ 1/2·(a_n + ib_n)e^-inx

                                                        = c₀ + Σ_n=1^∞ c_n·e^inx   +  Σ_n=1^∞ c_-n·e^-inx

                                                        = Σ_n=-∞^∞ c_n·e^inx

#7

Jeg forstår ikke anden sidste linje.

Hvordan er c₀ defineret? Hvad gør du med det sidste led? Erstatter du n med -n?

#8

Ja, man definerer c₀ = a₀ . Og så har man

        ∑_n=1^∞ c_-n·e^-inx  =  ∑_n=-∞^-1 c_n·e^inx .

#9

Jeg er dog ikke enig med grænserne. Sætter jeg n = -n i det sidste led, så får jeg:

Σ_n=1^∞ 1/2·(a_n + ib_n)e^-inx

⇓

Σ_n=-1^∞ 1/2·(a_-n + ib_-n)e^inx

Øvre grænse er stadigvæk ∞? Det passer overhovedet ikke med det du får.

#10

Hvis man sætter n = -n , (og n går fra 1 til ∞), vil -n gå fra -1 til -∞ , der skrives fra -∞ til -1 .

#11

Jamen jeg har jo ændret på grænsen også? Er det så forkert i #10? Der går n fra -1 til ∞? Beklager, at jeg ikke er så hurtigt, men det virker lidt forvirrende det her.

#12

Nå man skifter fra n til -n, skal grænserne jo også skifte fortegn; det er ikke korrekt i #10.

#13

Ok, vil du forklare mig, hvordan man skifter grænserne, når jeg sætter n = -n? Jeg er lidt på bare bund.

#14

Det står jo i #9.

#15

Ok, prøv at se det dokument jeg har skrevet lidt på. Er det korrekt forstået?

https://dl.dropboxusercontent.com/u/31729551/1.jpg

(Grænsen hedder naturligvis fra -∞ til 0. Der har været en tastefejl i teksten)

#16

Ja, det er korrekt, bortset fra, at    c₀ = a₀  .  De to rækker deler leddet for n = 0 , når de skrives hver for sig.

#17

Ja, men har jeg ikke vist det ved at definere koefficienterne c_n og c_-n som jeg har gjort? For n = 0 vil jeg få a₀ = c₀. Måske forstod jeg ikke dit spørgsmål?

#18

Nej, i dit vedlagte dokument har man   c₀ = (1/2)a₀ .

Bemærk i #7, hvordan leddet c₀ betragtes særskilt, mens c-rækkerne starter med n = 1 eller n = -1 .

#18

Se:

https://dl.dropboxusercontent.com/u/31729551/1.jpg

Den første koefficient: c₀ = 1/2 · a₀ · -1/2ib

Den anden koefficient: c₀ = 1/2 · a₀ · -1/2ib

Siger du så, at summen af koefficienterne er:

2c₀ = a₀?