Matematik
Differentialligning - Bestem koefficienterne og den fuldstændige løsning
Hej! Jeg har virkelig brug for hjælp. Jeg sidder med følgende opgave, og jeg er gået i stå.
Det oplyses, at differentialligningen: y'-2y=4x2-4x har en løsning, som er et andengradspolynomium.
a) Bestem koefficienterne, a, b og c i dette polynomium.
b) Bestem den fuldstændige løsning til den homogene ligning y'-2y=0
c) Bestem den fuldstændige løsning til den første ligning.
Er der nogen der kan hjælpe???
Svar #2
04. november 2014 af johankristensen111 (Slettet)
Jeg så godt, at dette var skrevet et andet sted på nettet, men jeg kan ikke forstå, hvordan jeg kan det?
Svar #4
04. november 2014 af Andersen11 (Slettet)
#2
Man undersøger, om en funktion af formen y = ax2 + bx + c er en løsning til differentialligningen ved at indsætte den i differentialligningen. Ligningen skal være opfyldt for alle x, så man får så et sæt ligninger til bestemmelse af a, b og c for en mulig løsning af denne form.
Svar #5
04. november 2014 af johankristensen111 (Slettet)
Aha!
Bestemmer jeg så "bare" koefficienterne ved at isolerer hver én? Eller hvordan?
Svar #6
04. november 2014 af mathon
eller
y' - 2y = 4x2 - 4x
y = (1/2)y' - 2x2 + 2x
y = (1/2)·(2ax + b) - 2x2 + 2x
y = -2x2 + (a + 2)x + (1/2)b
hvoraf
a = -2 b = 0 c = 0
løsning
y = -2x2
Svar #7
04. november 2014 af Andersen11 (Slettet)
#5
Ligningen i #3 reduceres til ligningen for et polynomium, der skal være identisk lig med 0. Dvs, at koefficienten til x2 skal være lig med 0, koefficienten til x skal være lig med 0, og konstanten skal være lig med 0.
2ax + b - 2ax2 -2bx -2c -4x2 + 4x = 0
-(2a + 4)x2 + (2a -2b + 4)x + (b -2c) = 0
Leddene i parenteserne skal hver for sig være lig med 0.
Svar #10
04. november 2014 af Andersen11 (Slettet)
#8
Ligningen fra #7
-(2a + 4)x2 + (2a -2b + 4)x + (b -2c) = 0
skal være opfyldt for alle x, så polynomiet på venstre side er identisk lig med nulpolynomiet. Derfor må dets koefficienter alle være lig med 0, dvs.
-(2a + 4) = 0
(2a -2b + 4) = 0
(b -2c) = 0
Af den første ligning ser man, at a = -2 . Dette indsættes i ligning 2, der så giver b = 0 , og dette indsættes endelig i den sidste ligning, der giver c = 0 . Derfor ser man, at hvis et 2.-gradspolynomium er en løsning til differentialligningen, må det være polynomiet y = -2x2 .
Svar #13
04. november 2014 af johankristensen111 (Slettet)
Det skal jeg da ikke nævne? Skal jeg? Jeg skal da kun bestemme koefficienterne?
Svar #14
04. november 2014 af Andersen11 (Slettet)
#13
Selv om man kun skal bestemme koefficienterne a, b og c i polynomiet, er det da på sin plads derefter at vise, hvordan dette polynomium så ser ud ved at give dets forskrift.
Svar #15
04. november 2014 af johankristensen111 (Slettet)
Korrekt! Tak!
Kan i hjælpe med spørgsmål b ogsp? :-)
Svar #16
04. november 2014 af johankristensen111 (Slettet)
Intet problem alligevel - den kan jeg :-)
Svar #19
04. november 2014 af Andersen11 (Slettet)
#17
Jeg ved ikke, hvad du mener med h(x).
Løs først den homogene differentialligning
y' - 2y = 0
enten ved at benytte separation af de variable, eller ved at benytte den færdige løsningsformel for differentialligningen y' = k·y .
Skriv et svar til: Differentialligning - Bestem koefficienterne og den fuldstændige løsning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.