Matematik

Bestem reelle og kompleske egenværdier og tilhørende vektorer for matrix A

09. november 2014 af joeeey (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej :)

Bestem reelle og kompleske egenværdier og tilhørende vektorer for matrix A.

$A=\begin{pmatrix} 15 & 1 & -3/2\\ -8& 6& 7/6 \\ 48& 6& -2 \end{pmatrix}$

jeg opskriver reduktionsdeterminanten og opløser efter række 2 og søjle 2. Herefter opskriver jeg det karakteristiske polynomium:

$det(A-\lambda E)=\begin{vmatrix} 15-\lambda & 1 & -3/2\\ -8& 6-\lambda& 7/6 \\ 48& 6& -2-\lambda \end{vmatrix}=(-1)^{2+2}(6-\lambda)\begin{vmatrix} 15-\lambda & -3/2\\ 48 & -2-\lambda \end{vmatrix}=(6-\lambda)*((15-\lambda)(-2-\lambda)+72))$ jeg vil gerne faktorisere det eller på en udregne egenværdierne(og herefter egenvektorerne) men hvordan gør jeg? $\lambda=\frac{-b(+/-)\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ ??

Brugbart svar (0)

Svar #1
09. november 2014 af peter lind

Brug først 0 reglen. Hvis et produkt af faktorer er 0 er mindst en af faktorerne 0. Ved brug af den kan du direkte aflæse den ene egenværdi. De 2 andre skal du finde ved brug af den formeldu skriver til sidst

Svar #2
09. november 2014 af joeeey (Slettet)

okay så jeg bruger nulreglen. Jeg ser at den ene, den anden eller begge skal være nul for at være lig nul. så hvis faktoren $((15-\lambda)(-2-\lambda)+72))=0$ så går ledet ud og egenværdien for det andet led kan findes til $(\lambda -6)=0 \Leftrightarrow \lambda_1=6$

Svar #3
09. november 2014 af joeeey (Slettet)

$((15-\lambda)(-2-\lambda)+72))=\lambda^2-13\lambda+42$ hvor a=1, b= -13 og c=42

$\lambda=\frac{-b(+/-)\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Leftrightarrow$ $\lambda=\frac{-(-13)(+/-)\sqrt{-13^2-4*1*42}}{2*1}\Leftrightarrow$ $\lambda=\frac{13(+/-)\sqrt{-337}}{2}\Leftrightarrow$ $\lambda=\frac{13(+/-)i\sqrt{337}}{2}\Leftrightarrow$

egenværdierne fås til :

$\lambda_2=\frac{13}{2}+9.178779875*i$ og $\lambda_3=\frac{13}{2}-9.178779875*i$ ???

Brugbart svar (0)

Svar #4
09. november 2014 af peter lind

Der mangler vist noget i begyndelsen. Der skal stå (-13)² inde i kvadratroden.

Svar #5
09. november 2014 af joeeey (Slettet)

hov ja det gør der også:

$\lambda=\frac{-(-13)(+/-)\sqrt{(-13)^2-4*1*42}}{2*1}\Leftrightarrow\lambda=\frac{13(+/-)\1}{2}\Leftrightarrow\lambda=\frac{13(+/-)\1}{2}=\left\{\begin{matrix} \lambda_2=7\\ \lambda_3=6 \end{matrix}\right.$

men så får jeg jo ingen kompleske egenværdier?

Brugbart svar (0)

Svar #6
09. november 2014 af peter lind

Hvad gør det ?

Svar #7
09. november 2014 af joeeey (Slettet)

du havde ret med at der skulle stå (-13)² inde i kvadratroden, men altså hvordan kommer jeg frem de komplekse egenværdier?

Brugbart svar (0)

Svar #8
09. november 2014 af peter lind

Du har fundet at egenværdierne er reelle tal. Jeg kan ikke se hvorfor det ikke er godt nok. Husk at de reelle tal er en delmængde af de komplekse tal.

Svar #9
09. november 2014 af joeeey (Slettet)

Det er ikke godt nok fordi jeg skal bestemme både de reelle og kompleske egenværdier for matrix A, som skrevet.

Hvis jeg løser dette i maple får jeg svaret med komplekse tal:

7, 6-i , 6+i

Svar #10
09. november 2014 af joeeey (Slettet)

men det kunne være dejligt hvis der er andre der vil svare på mit spørgsmål så jeg kan finde de komplekse egenværdier ;)

Brugbart svar (0)

Svar #11
09. november 2014 af peter lind

Jeg ved ikke hvad du har gjort i maple. I det resultat du skriver i #0 er λ = 6 en løsning hvilket ikke stemmer med det i #9

Svar #12
09. november 2014 af joeeey (Slettet)

I maple har jeg fundet egenværdierne vha. af at sætte det karakteristiske polynomium lig nul. I den sidste linje ses løsningen nemlig 7, 6-i , 6+i (maple bruger stort i):

Brugbart svar (0)

Svar #13
09. november 2014 af peter lind

Så ligger din fejl i beregningen af det karakteristiske polynomium i #0

7 er en rod i polynomiet #12. Hvis du dividerer polynomiet med λ-7 får du et 2. grads polynomium. Den kan du så finde rødderne i på sædvanlig måde

Svar #14
10. november 2014 af joeeey (Slettet)

hvor opskriver jeg så det karakteristisk polynomium?

Brugbart svar (0)

Svar #15
10. november 2014 af peter lind

Den forstår jeg ikke. Du skriver dit polynomium i din besvarelse

Skriv et svar til: Bestem reelle og kompleske egenværdier og tilhørende vektorer for matrix A

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.