Transformationssætning

12. november 2014 af sashii - Niveau: Universitet/Videregående

Hvordan laves følgende opgave med transformationssætningen?

Udtryk mængden
R = {(x, y, z) | 0 ≤ y, x² + y² + z² ≤ 1}

i sfæriske koordinater, og udregn derefter rumintegralet af funktionen f(x,y,z) = y over R.

Jeg har fundet R til at være:
R = {(ρ, θ, φ) | 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ π}.

Og så er jeg ikke sikker på om y = ρ² sin(θ) og hvad jeg skal gøre efterfølgende

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

For sfæriske koordinater (r,θ,φ) har man sammenhængen med de cartesiske koordinater (x,y,z)

$x=r \, \sin\theta \, \cos\varphi$

$y=r \, \sin\theta \, \sin\varphi$

$z=r \, \cos\theta$

For halvkuglen 0 ≤ y , x² + y² + z² ≤ 1 gælder de uligheder, du har fundet. Rumelementet er

dV = dx dy dz = r²·sin(θ) dr dθ dφ

så man skal beregne integralet

J = ∫∫∫_R y dV = ₀∫^π ₀∫^π ₀∫¹ r³·sin²(θ)·sin(φ) dr dθ dφ = 2·(1/4)·₀∫^π sin²(θ) dθ = π/4

Skriv et svar til: Transformationssætning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.