Matematik

Anden ordens differentialligning SRP-hjælp!

13. december 2014 af skrogsgaard (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej Folk, jeg sidder her og skriver srp om harmoniske svingninger og til det har jeg har så fået stukket en anden ordens differentialeligning i hånden problemet er bare jeg aldrig har lært og løse dem når determinanten er givet, jeg håber i kan hjælpe mig.

Opgaven lyder: Forklar hvordan man opstiller en anden ordens differentialligning der fører til en dæmpet svigning og find den fuldstændige løsning til differentialligningen: y''+a*y'+b*y=0 i det tilfælde hvor
D=a²-4*b<0

Håber i kan hjælpe!
Mvh. Sofie

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. december 2014 af mathon

En løsning er på formen
$y=e^{rx}$
hvoraf
$y{\, }'=re^{rx}$

                                        $y{\, }''=r^2e^{rx}$
som indsættes i y''+a*y'+b*y=0
hvilket giver
$r^2e^{rx}+a\cdot re^{rx}+b\cdot e^{rx}=0$
hvoraf den
karakterligningen:
$r^2+a\cdot r+b=0$
som med
                D = a²- 4*b < 0         kun har to komplekst konjugerede løsninger.

                                            $r=\frac{-a\pm \sqrt{(-1)\cdot 4\cdot \left (b-\left (\frac{a}{2} \right )^2 \right ) }}{2}=-\frac{a}{2}\pm i\sqrt{b-\left (\frac{a}{2} \right )^2}$

så den fuldstændige løsning til y''+a*y'+b*y=0
er:
                $y=\exp\left ( -\frac{a}{2}x \right )\left ( c_1\cdot \cos\left ( \sqrt{b-\left (\frac{a}{2} \right )^2} \right )x+c_2\cdot \sin\left ( \sqrt{b-\left (\frac{a}{2} \right )^2} \right )x \right )$
som kan omskrives til

$y=A\exp\left ( -\frac{a}{2}x \right )\left \sin\left ( \sqrt{b-\left (\frac{a}{2} \right )^2}\cdot x+\varphi _0 \right )$

Svar #2
13. december 2014 af skrogsgaard (Slettet)

Tak for svaret #1

Men der der noget jeg ikke helt forstår:

Hvad mener du med karakterligningen?

Og Er dette de eneste trin i løsningen af differentialligen?
eftersom jeg skal brugen den i min Srp er jeg jo nød til at have ret godt styr på det.

Brugbart svar (0)

Svar #3
14. december 2014 af mathon

"Og Er dette de eneste trin… " kan man vel ikke kalde det, når "…problemet er, at jeg aldrig har lært at løse dem når determinanten er givet " og "Hvad mener du med karakterligningen? ".

Dertil kommer redegørelsen for sidstnævnte omskrivning.

Brugbart svar (0)

Svar #4
14. december 2014 af mathon

omskrivningsredegørelse i detaljer:

Vedhæftet fil:omskrivning_af_acos(x)+bsin(x)-2.doc

Skriv et svar til: Anden ordens differentialligning SRP-hjælp!

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.