Matematik

Differentialligning løses med panserformlen, eller nålestiksmetoden

27. januar 2015 af LouiseVang (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Har prøvet at løse følgende differentialligning, men kan ikke få den til at give det den skal

dM/dt = 1/6 * M -6t^2

Nogle som kan hjælpe?

Svar #1
27. januar 2015 af LouiseVang (Slettet)

Ups skrev forkert, der skulle stå :

dM/dt = 1/t * M -6t^2

Brugbart svar (0)

Svar #2
27. januar 2015 af mathon

$\small M{\, }'-\frac{1}{6}M=-6t^2$ multiplicer med $\small e^{-\frac{1}{6}t}$

$\small M{\, }'-\frac{1}{6}M=-6t^2$

$\small e^{-\frac{1}{6}t}\cdot M{\, }'-\frac{1}{6}M\cdot e^{-\frac{1}{6}t}=-6t^2\cdot e^{-\frac{1}{6}t}$

$\small \left (e^{-\frac{1}{6}t}\cdot M \right ){}'=-6t^2\cdot e^{-\frac{1}{6}t}$ som integreres mht t på begge sider

$\small e^{-\frac{1}{6}t}\cdot M =-\int \left (e^{-\frac{1}{6}t}\cdot 6t^2\ \right )dt$

$\small -e^{-\frac{1}{6}t}\cdot M =\int \left (e^{-\frac{1}{6}t}\cdot 6t^2\ \right )dt$

$\small -e^{-\frac{1}{6}t}\cdot M =-6e^{-\frac{1}{6}t}\cdot 6t^2+6\cdot 12\int e^{-\frac{1}{6}t}\cdot t\, dt$

$\small -e^{-\frac{1}{6}t}\cdot M =-36t^2\cdot e^{-\frac{1}{6}t}+72\int e^{-\frac{1}{6}t}\cdot t^2dt$

Brugbart svar (0)

Svar #3
27. januar 2015 af mathon

rettelse af potensfejl:

$\small -e^{-\frac{1}{6}t}\cdot M =-36t^2\cdot e^{-\frac{1}{6}t}+72\int e^{-\frac{1}{6}t}\cdot tdt$

$\small -e^{-\frac{1}{6}t}\cdot M =-36t^2\cdot e^{-\frac{1}{6}t}+72\cdot \left [-6\cdot e^{-\frac{1}{6}t}\cdot t+6\int e^{-\frac{1}{6}t}\, dt \right ]$

$\small -e^{-\frac{1}{6}t}\cdot M =-36t^2\cdot e^{-\frac{1}{6}t} -432\cdot e^{-\frac{1}{6}t}\cdot t+432\int e^{-\frac{1}{6}t}dt$

$\small -e^{-\frac{1}{6}t}\cdot M =-36t^2\cdot e^{-\frac{1}{6}t} -432\cdot e^{-\frac{1}{6}t}\cdot t+432\cdot (-6)\cdot e^{-\frac{1}{6}t}-C_1$

$\small e^{-\frac{1}{6}t}\cdot M =36t^2\cdot e^{-\frac{1}{6}t} +432\cdot e^{-\frac{1}{6}t}\cdot t+2392\cdot e^{-\frac{1}{6}t}+C$

$\small M(t) =Ce^{\frac{1}{6}t}+36t^2 +432\, t+2392$

Brugbart svar (0)

Svar #4
27. januar 2015 af mathon

Ændringen i #1 ændrede godt nok noget på foretagendet!

$\small M{\, }'-\frac{1}{t}M=-6t^2 \; \; \; \; \; t\neq 0$ der multipliceres med $\small \frac{1}{t}$ på begge sider

$\small \frac{1}{t}\cdot M{\, }'-\frac{1}{t}M\cdot \frac{1}{t}=-6t^2\cdot \frac{1}{t}$

$\small \left ( \frac{1}{t}\cdot M \right ){}'=-6t$ der integreres mht t på begge sider

$\small \frac{1}{t}\cdot M =-3t^2+C$

$\small M(t) =C\cdot t-3t^3$

Svar #5
27. januar 2015 af LouiseVang (Slettet)

Ja undskyld fejlen :/

Men i #4 benytter du ikke panserformlen eller ? :)

Brugbart svar (0)

Svar #6
31. januar 2015 af mathon

$\small M{\, }'+\left (-\frac{1}{t} \right )M=-6t^2 \; \; \; \; \; t> 0$
benyttes panserformlen direkte
har du:

$\small M(t)=e^{\ln(t)}\cdot \int e^{-\ln(t)}\cdot (-6t^2)dt$

$\small M(t)=t\cdot \int \frac{1}{t}\cdot (-6t^2)dt$

$\small M(t)=t\cdot \int -6t\, dt$

$\small M(t)=t\cdot \left (-3t^2+C \right )$

$\small M(t)=C\cdot t -3t^3$

Skriv et svar til: Differentialligning løses med panserformlen, eller nålestiksmetoden

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.