Kombinatorisk matematik - Tælle

Se på hvornår der ikke kommer kast ved siden af hinanden.

Først se på hvor mange måder du slet ikke får samme udfald ved siden af hinanden.

Dernæst netop 2 udfald med samme udfald ved siden af hinanden. Alle andre har ikke samme udfald ved siden af hinanden

Dernæst med 2 gange med netop 2 udfald med samme udfald ved siden af hinanden

til slut med 3 tilfælde med 2 naboer med samme udfald

#0

Jeg har nogle problemer med at forstå og finde en metode til at tælle følgende på, kan jeg bare få et par hint om metoden ville det være fantastisk:

Der kastes med en terning 10 gange, dealeren vinder hvis et af de 10 kast giver samme udfald som et af de to foregående. Der er 6^10 forskellige udfald, hvor mange af dem vinder dealeren på?

Gør mig en tjeneste: skriv svaret her, når du får det.

Det er måske lettere at tælle tilfældene for den komplementære hændelse, hvor dealeren ikke vinder.

Her må vi skelne mellem to tilfælde:
     1) de to første terningkast er identiske, og
     2) de to første terningkast er forskellige.

I 1) skal det 3. terningkast være forskelligt fra det der blev slået i hvert af de to første slag
I 2) skal det 3. terningkast være forskelligt fra hvert af de to tal, der blev slået i de to første slag.

I hvert af de efterfølgende kast vil de to foregående kast være forskellige, og det aktuelle kast vil være forskelligt fra de to foregående kast. Det samlede antal mulige kast, hvor dealeren ikke vinder er derfor

        N = (6·5 + 6·5·4)·4⁷ = 2.457.600

Det samlede antal kast, hvor dealeren vinder er så

        6¹⁰ - N = 58.008.576

Der er altså en sandsynlighed på ca 95,9% for at dealeren vinder.

#3

Det er måske lettere at tælle tilfældene for den komplementære hændelse, hvor dealeren ikke vinder.

Her må vi skelne mellem to tilfælde:
     1) de to første terningkast er identiske, og
     2) de to første terningkast er forskellige.

I 1) skal det 3. terningkast være forskelligt fra det der blev slået i hvert af de to første slag
I 2) skal det 3. terningkast være forskelligt fra hvert af de to tal, der blev slået i de to første slag.

I hvert af de efterfølgende kast vil de to foregående kast være forskellige, og det aktuelle kast vil være forskelligt fra de to foregående kast. Det samlede antal mulige kast, hvor dealeren ikke vinder er derfor

        N = (6·5 + 6·5·4)·4⁷ = 2.457.600

Det samlede antal kast, hvor dealeren vinder er så

        6¹⁰ - N = 58.008.576

Der er altså en sandsynlighed på ca 95,9% for at dealeren vinder.

Jeg forstår ikke rigtig hvordan du kommer frem til dit N?
6*5 er det hvor de to første er identiske? Så har dealeren jo netop vundet? og burde det ikke være 6*1, for der er 6 muligheder for den første og kun én mulighed for det næste træk?
Hvorfor ganger du med 4^7, jeg kan ikke helt finde logikken i det :-)

Jeg kan heller ikke se logikken i #3

Alternativ

1 Først hvor ingen har naboer til fælles.

Du kan vælge den første frit, hvilket giver 6 muligheder. Resten der vælges må ikke have det foregående ciffer, så det giver 5 muligheder ialt 6*5⁹

2. Netop 2 naboer har fælles ciffer.

Du kan vælge det fælles udfald frit altså 6 muligheder. Resten har lige som i 1. 5 muligheder

3. Der er netop 2 par naboer, som har fælles udfald.

Det bliver lidt mere kompliceret idet de to par kan ligge opad hinanden eller ikke. Det burde  dog være muligt at dele op i de to tilfælde og så bruge samme metode som i 2.

4. Der er netop 3 par naboer der har samme udfald. Brug metoden fra 3. igen lidt mere kompliceret

Fortsat fra #5

5. Der er 4 par naboer. Her kan der kun være to mellemrum. Se på de forskellige mellemrum

6. 5 par naboer. Kan løses som 1.

#0 I et spil er der 1/6 sandsynlighed for, at de to første kast er ens og 5/6 for, at de ikke er. Betragt for de øvrige 8 kast en Bernouilli process, hvor man sammenligner et kast med de to foregående for at se, om det er lig med mindst et af dem. Sandsynligheden for dette er i hver kast 11/36 for, at det er og 25/36 for, at det ikke er. Det, man søger, er den samlede sandsynlighed for, at de to første kast er ens, eller at mindst et kast af resten er lig med et af eller begge de to foregående. Sandsynligheden for det sidste er 1-(25/36)⁸, men hvis det forudsættes, at spillet stoppes så snart, dealeren har vundet, ændres sandsynligheden til 1-(2/3)⁸, idet man derved ikke kan komme ud for, at begge de foregående kast er lig med det nuværende.

Samlet får man: P(dealer vinder)  = 1/6+(5/6)·(1-(2/3)⁸) = 97,5%.